Devoir surveillé n°3 (modèle 1) — 1 Bac Sciences Expérimentales

Cocher la réponse correcte (QCM).

(QCM1) Soit $(U_n)$ une suite telle que : $U_0 = 3$, $U_1 = 12$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$$U_{n+2} = 4U_{n+1} - 3U_n + 10 \quad ; \quad \text{on pose } \forall n \in \mathbb{N} : \; V_n = U_{n+1} - 3U_n$$

1. $U_2 = 39$
2. $U_2 = 29$
3. $U_2 = 49$

(QCM2) La suite $(V_n)$ est :

1. une suite arithmétique de raison $10$
2. une suite géométrique de raison $10$
3. ni géométrique ni arithmétique

(QCM3) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, la suite $(U_n)$ en fonction de $n$ est :

1. $U_n = 10n - 4 \times 3^n + 4$
2. $U_n = 7 \times 3^n - 5n - 4$
3. $U_n = 6 \times 3^n - 5n - 3$

(QCM4) On considère l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $(C) : x^2 + y^2 - 4x + 2y - 11 = 0$, la droite $(D) : x + y = 0$ et le point $A(1;-2)$. Alors :

1. $(C)$ est un cercle de centre $K(2;1)$ et de rayon $R = 3$
2. $(C)$ est un cercle de centre $K(2;-1)$ et de rayon $R = 2$
3. $(C)$ est un cercle de centre $K(2;-1)$ et de rayon $R = 4$

(QCM5) La position relative de $(C)$ et $(D)$ est :

1. la droite $(D)$ coupe $(C)$ en deux points $E$ et $F$
2. le cercle $(C)$ est tangent à $(D)$ en un point $H$
3. la droite $(D)$ ne coupe pas $(C)$

(QCM6)

1. $A \in (C)$
2. $A$ est à l'extérieur de $(C)$
3. $A$ est à l'intérieur de $(C)$

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $\; u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + 2$.

1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $\; u_n \leq 3$.
2. Étudier la monotonie de $(u_n)$ et en déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $\; u_n \geq 2$.
3. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $v_n = u_n - 3$.
   1. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$.
   2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   3. Montrer que $u_n = 3 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
4. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $T_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_{n-1} + u_n$.
   Montrer que $T_n = 3(n+1) - \dfrac{3}{2}\left(1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O\,;\vec{i}\,;\vec{j})$.
Soient $A(5\,;1)$, $B(-1\,;3)$ et $C(1\,;-1)$ trois points du plan.

1. 1. Vérifier que $\vec{BA}(6;-2)$, $\vec{AC}(-4;-2)$ et $\vec{BC}(2;-4)$.
   2. Calculer $\cos\left(\vec{BC}\,;\vec{BA}\right)$ et $\sin\left(\vec{BC}\,;\vec{BA}\right)$.
   3. En déduire la mesure principale de l'angle orienté $\left(\widehat{\vec{BC}\,;\vec{BA}}\right)$.
2. Soient $(\Delta_1)$ la médiatrice de $[AB]$ et $(\Delta_2)$ la médiatrice de $[AC]$.
   1. Déterminer une équation cartésienne de $(\Delta_1)$ puis de $(\Delta_2)$.
   2. Déterminer les coordonnées de $\Omega$, le centre du cercle $(C)$ circonscrit au triangle $ABC$.
   3. Déterminer une équation cartésienne du cercle $(C)$.

On pose, pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $\; A(x) = \sin(x) + \sin(2x) + \sin(3x) + \sin(4x)$.

1. Transformer en produits les sommes : $\sin(3x) + \sin(x)$ et $\sin(4x) + \sin(2x)$.
2. Montrer que $A(x) = 4\cos(x)\times\sin\left(\dfrac{5x}{2}\right)\times\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$.
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ puis dans $[0\,;\pi]$ l'équation $A(x) = 0$.