Devoir surveillé n°5 (modèle 1) — 1 Bac Sciences Expérimentales
Devoir corrigé de mathématiques — 1 Bac.
Soit $f$ une fonction définie par la courbe représentative donnée.
Déterminer :
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) \quad ; \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) \quad ; \quad \lim_{x \to 3^{+}} f(x) \quad ; \quad \lim_{x \to 3^{-}} f(x)$$
Déterminer :
$$f'\left(\dfrac{1}{2}\right) \quad ; \quad f'\left(-\dfrac{1}{2}\right) \quad ; \quad \lim_{x \to 2^{+}} \dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2} \quad ; \quad \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{2f(x) + 5}$$
Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$\begin{cases} f(x) = \dfrac{x^{2} - 6x + 5}{x - 5} & ;\ x \neq 5 \\[2mm] f(5) = 4 \end{cases}$$
Montrer que $f$ est dérivable en $5$ et que $f'(5) = 1$.
Déterminer l'équation de $(T)$ la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse $5$.
Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Soit $f$ une fonction telle que : $f(x) = x - 2\sqrt{x}$.
Vérifier que $D_f = \left[0\,;\,+\infty\right[$ et que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
a) Étudier la dérivabilité de $f$ à droite de $0$.
b) Donner une interprétation géométrique du résultat.
a) Montrer que $f'(x) = \dfrac{x - 1}{\sqrt{x}\,(\sqrt{x} + 1)}$ pour tout $x \in \left]0\,;\,+\infty\right[$.
b) Dresser le tableau de variations de $f$ en justifiant votre réponse.
Soit $ABCD$ un tétraèdre et $M$, $N$, $P$ et $Q$ des points définis par :
$$\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\,\overrightarrow{AB} \quad ; \quad \overrightarrow{AN} = \dfrac{3}{4}\,\overrightarrow{AC} \quad ; \quad \overrightarrow{CP} = -\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{CD} \quad ; \quad \overrightarrow{AQ} = \dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AD}$$
Écrire $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{MP}$, $\overrightarrow{MQ}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$.
Montrer que $2\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{MP} = -\dfrac{2}{3}\,\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AD}$.
Montrer que les points $M$, $N$, $P$ et $Q$ sont coplanaires.