Devoir surveillé n°1 — 1 Bac Sciences Maths

Exercice 1 — Logique et raisonnements (8 pts)

1. On considère la proposition $(P)$ : $(\forall x\in\mathbb{R})\;\big(x^2=2x \Rightarrow x=2\big)$.
   1. Donner la négation de $(P)$.
   2. En déduire la valeur de vérité de $(P)$.
2. a) Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, l'entier $n(n+1)(n+2)$ est multiple de $3$.
   b) En déduire que $n^3-n$ est multiple de $3$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$.
3. a) Démontrer que $(\forall a,b\in\mathbb{R}^+)\;\big(a+b=0 \Rightarrow a=0 \text{ et } b=0\big)$.
   b) Montrer que $(\forall x,y\in\mathbb{R}^+)\;\Big(x\neq 9 \text{ ou } y\neq 9 \Rightarrow \dfrac{x+y+18}{6}\neq\sqrt{x}+\sqrt{y}\Big)$.
4. a) Montrer par récurrence que $(\forall n\in\mathbb{N}^*)\;\;1^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
   b) En déduire que $6$ divise $n(n+1)(2n+1)$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$.
5. a) Montrer que $\forall(a,b)\in(\mathbb{R}^+)^2,\; a+b\geq 2\sqrt{ab}$.
   b) En déduire que $\forall(a,b,c)\in(\mathbb{R}^+)^3,\;(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$.

Exercice 2 — Ensembles (3 pts)

On pose $A=\left\{n\in\mathbb{N}\;/\;\dfrac{n+10}{n-5}\in\mathbb{Z}\right\}$ et $B=\left\{n\in\mathbb{N}\;/\;\dfrac{4n^2-4n+10}{2n-1}\in\mathbb{Z}\right\}$.

1. Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}\setminus\{5\},\;\dfrac{n+10}{n-5}=1+\dfrac{15}{n-5}$.
2. Montrer que $(\forall n\in\mathbb{N}),\;\dfrac{4n^2-4n+10}{2n-1}=2n-1+\dfrac{9}{2n-1}$.
3. Déterminer en extension $A$, $B$ et $A\,\triangle\,B$.

Exercice 3 — Algèbre des parties (4,5 pts)

Soient $A$, $B$ et $C$ des parties d'un ensemble $E$.

1. Montrer que $\Big(\overline{A\cap\overline{B}}\cap\overline{A\cap\overline{C}}\Big)\cup A=E$.
2. Montrer que $A\cap(B\setminus C)=(A\cap B)\setminus(A\cap C)$.
3. Montrer que $A\cap\overline{B}=A\cap\overline{C}\;\Leftrightarrow\;A\cap B=A\cap C$.

Exercice 4 — Applications (5,5 pts)

On considère $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ et $g:\mathbb{R}\to\,]0;+\infty[$ définies par $f(x)=g(x)=x+\sqrt{x^2+1}$.

1. a) Montrer que $\forall x\in\mathbb{R},\;x+\sqrt{x^2+1}>0$.
   b) En déduire que $f$ n'est pas surjective.
2. Déterminer $f^{-1}\big(\,]-\infty;2]\,\big)$.
3. Montrer que $f(\mathbb{R})=\,]0;+\infty[$.
4. Montrer que $f$ est injective.
5. Montrer que $g$ est bijective, puis déterminer $g^{-1}$.