Devoir surveillé n°2 — 1 Bac Sciences Maths

Soient $ABCD$ un parallélogramme, $H$ le barycentre du système pondéré $\{(A,2);(B,5);(C,-1)\}$, $K$ le barycentre de $\{(B,5);(C,-1);(D,6)\}$ et $E$ le barycentre de $\{(C,-1);(B,5)\}$.

1. Montrer que $\overrightarrow{BE} = -\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}$.
2. Montrer que $H$ est le barycentre du système pondéré $\{(A,1);(E,2)\}$.
3. Montrer que $K$ est le barycentre du système pondéré $\{(D,-3);(E,2)\}$.
4. a) Montrer que $D$ est le barycentre du système pondéré $\{(K,1);(E,2)\}$.
   b) En déduire que $(AK) \parallel (DH)$.
5. Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que :
   $$\left\| 2\overrightarrow{MA} + 5\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} \right\| = \left\| 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC} \right\|$$

Soit $f$ la fonction numérique définie par : $f(x) = 1 + \sqrt{x - 4\,E\!\left(\dfrac{x}{4}\right)}$, où $E$ désigne la partie entière.
On note $\left(\mathcal{C}_f\right)$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$.

1. Montrer que l'ensemble de définition de $f$ est $D_f = \mathbb{R}$.
2. Montrer que le nombre $4$ est une période de la fonction $f$.
3. Montrer que $(\forall x \in \mathbb{R})\ \ 1 \leqslant f(x) < 3$.
4. a) Vérifier que pour tout $x \in [0;4[$ : $f(x) = 1 + \sqrt{x}$.
   b) Tracer la courbe $\left(\mathcal{C}_f\right)$ sur l'intervalle $[-4;8[$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$.

1. Étudier la parité de la fonction $f$.
2. Montrer que $\forall x \in \mathbb{R} : |f(x)| \leq 1$.
3. a) Étudier le sens de variation de $f$ sur $[0;1]$ puis sur $[1;+\infty[$.
   b) En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
4. Soient $g$ et $h$ les fonctions définies par : $g(x) = \sqrt{x + 1}$ et $h(x) = \dfrac{|x+1|}{\sqrt{x^2 + 1}}$.
   a) Dresser le tableau de variations de $g$ et tracer $(\mathcal{C}_g)$ dans un repère orthonormé.
   b) Déterminer $g\big([-1;0]\big)$ et $g\big([0;+\infty[\big)$.
   c) Montrer que $(\forall x \in \mathbb{R}) : h(x) = g \circ f(x)$.
   d) Étudier la monotonie de $h$ sur $\mathbb{R}$.

On veut construire un triangle $ABC$ isocèle en $A$ tel que $AB = AC = 10$.
On choisit comme paramètre une mesure $x$, en radians, de l'angle orienté $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})$. Pour des raisons de symétrie, il suffit que $x$ décrive l'intervalle $[0;\pi]$.

1. Montrer que l'aire de $ABC$ s'exprime en fonction de $x$ par : $\mathcal{A}(x) = 50 \sin x$.
2. En déduire l'aire maximale du triangle $ABC$.