Devoir surveillé n°3 — 1 Bac Sciences Maths
Devoir surveillé corrigé de mathématiques — 1 Bac.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$.
On considère les trois points $A(5;1)$, $B(-1;3)$ et $C(1;-1)$.
a) Vérifier que $\overrightarrow{BA}(6;-2)$, $\overrightarrow{AC}(-4;-2)$ et $\overrightarrow{BC}(2;-4)$.
b) Calculer $\det(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA})$, $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$ ainsi que les distances $BA$ et $BC$.
c) Calculer $\cos(\widehat{\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}})$ et $\sin(\widehat{\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}})$.
d) En déduire la mesure principale de l'angle orienté $(\widehat{\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}})$.
Déterminer la nature du triangle $ABC$.
Calculer l'aire du triangle $ABC$.
Déterminer les coordonnées de $K = \text{bary}\{(B,3);(C,2)\}$.
a) Soit la droite $(D):\ 2x+y+1=0$.
Déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur $\overrightarrow{U}$ de $(D)$ et d'un vecteur normal $\overrightarrow{n}$ à $(D)$.b) Montrer que les droites $(D)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.
Soient $(\Delta_1)$ la médiatrice de $[AB]$ et $(\Delta_2)$ la médiatrice de $[AC]$, et $I$, $J$ les milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC]$.
a) Déterminer les coordonnées de $I$ et de $J$.
b) Déterminer une équation cartésienne de $(\Delta_1)$ puis de $(\Delta_2)$.
c) Déterminer les coordonnées de $\Omega$, centre du cercle $(C)$ circonscrit au triangle $ABC$.
d) Déterminer une équation cartésienne du cercle $(C)$.
Déterminer l'ensemble des points $M(x;y)$ du plan tels que $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AB}=4$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\sqrt{3}\,\cos x\,\sin x-\sin^2 x$.
Montrer que $f$ est périodique de période $\pi$.
Montrer que $(\forall x\in\mathbb{R});\ f(x)=2\sin x\,\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)$.
Montrer que $(\forall x\in\mathbb{R});\ f(x)=\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)-\dfrac{1}{2}$.
Calculer $f\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ puis en déduire les valeurs exactes de $\sin\dfrac{\pi}{12}$ et $\cos\dfrac{\pi}{12}$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ puis dans $[0;\pi]$ l'équation $f(x)=0$.
Résoudre dans $[0;\pi]$ l'inéquation $f(x)\leq 0$.
Soit $m$ un réel.
On pose $\mathcal{C}_m=\left\{M(x;y)\in\mathcal{P}\ /\ MA^2-mMB^2=0\right\}$ où $A(-1;2)$ et $B(1;2)$.
Déterminer $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_m$ pour $m<0$.
Dans toute la suite, $m\in\mathbb{R}_+^*\setminus\{1\}$.
a) Montrer que $x^2+y^2+2\left(\dfrac{1+m}{1-m}\right)x-4y+5=0$ est une équation de l'ensemble $\mathcal{C}_m$.
b) En déduire que $\mathcal{C}_m$ est un cercle dont on précisera le centre $\Omega_m$ et le rayon $R_m$.