Devoir surveillé n°5 — 1 Bac Sciences Maths

Soit $f$ une fonction définie par la courbe représentative donnée dans le repère.

1. Déterminer les limites suivantes :

   $$\lim_{x \to +\infty} f(x) \quad ; \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) \quad ; \quad \lim_{x \to 3^{+}} f(x) \quad ; \quad \lim_{x \to 3^{-}} f(x)$$

2. Déterminer :

   $$f'\left(\tfrac{1}{2}\right) \quad ; \quad f'\left(-\tfrac{1}{2}\right) \quad ; \quad \lim_{x \to 2^{+}} \dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2} \quad ; \quad \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{2f(x) + 5}$$

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x - 2\sqrt{x}$.

1. Vérifier que $D_f = \left[0\,;\,+\infty\right[$ et que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

2. a) Étudier la dérivabilité de $f$ à droite de $0$.

   b) Donner une interprétation géométrique du résultat.

3. a) Montrer que $f'(x) = \dfrac{x - 1}{\sqrt{x}\,(\sqrt{x} + 1)}$ pour tout $x \in \left]0\,;\,+\infty\right[$.

   b) Dresser le tableau de variations de $f$ en justifiant votre réponse.

Soit $f$ une fonction définie sur $I = \left]\dfrac{-\pi}{2}\,;\,\dfrac{3\pi}{2}\right[$ par :

1. a) Montrer que $\displaystyle \lim_{x \to \frac{-\pi}{2}^{+}} f(x) = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to \frac{3\pi}{2}^{-}} f(x) = -\infty$.

   b) Interpréter les résultats géométriquement.

2. a) Montrer que pour tout $x$ de $I$ : $f'(x) = -\dfrac{1}{1 + \sin x}$.

   b) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\left]\dfrac{-\pi}{2}\,;\,\dfrac{3\pi}{2}\right[$.

   c) Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ au point d'abscisse $0$.

3. a) Montrer que pour tout $x$ de $I$ : $f''(x) = \dfrac{\cos x}{(1 + \sin x)^{2}}$.

   b) Étudier la convexité de $(C_f)$, puis justifier que le point $A\left(\dfrac{\pi}{2}\,;\,0\right)$ est un point d'inflexion de la courbe $(C_f)$.

4. Montrer que le point $A\left(\dfrac{\pi}{2}\,;\,0\right)$ est centre de symétrie de $(C_f)$.

5. Tracer $(T)$ et $(C_f)$ dans un repère orthonormé $\left(\|\vec{i}\| = 2\text{ cm}\right)$.