Devoir surveillé n°1 (modèle 1) — 1 Bac Sciences Maths

1. a) Montrer que : $\forall(a;b)\in\mathbb{R}_+^2;\ (a+b=0)\Leftrightarrow(a=0 \text{ et } b=0)$.

2. b) Vérifier que : $(\forall x\in\mathbb{R}):\ \sqrt{x^2+1}-1\geq 0$.

3. c) Montrer que : $\forall(x;y)\in\mathbb{R}^2:\ (x\neq 0 \text{ ou } y\neq 0)\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}\neq 2$.

2) Soit $q$ un réel ; on pose $S_n=1+q+q^2+\ldots+q^n$ tel que $n\in\mathbb{N}$.

1. On suppose que $q=1$ ; calculer $S_n$ en fonction de $n$.

2. On suppose que $q\neq 1$ ; montrer par récurrence que $(\forall n\in\mathbb{N}):\ S_n=\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}$.

3) On considère l'équation $(E)$ : $x\in\mathbb{R}:\ \sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1$.

1. Déterminer $D$, l'ensemble de définition de l'équation $(E)$.

2. Résoudre dans $D$ l'équation $(E)$.

Pour tout entier naturel $n$ non nul on pose $S_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}$.

1. Soit $n\in\mathbb{N}^{*}$.
   Vérifier que $\left(\forall k\in\{1;2;\ldots;n\}\right):\ \dfrac{1}{n+k}\geq\dfrac{1}{2n}$.

2. Montrer que $\left(\forall n\in\mathbb{N}^{*}\right):\ S_{2n}-S_n\geq\dfrac{1}{2}$.

3. En déduire que $\left(\forall n\in\mathbb{N}^{*}\right):\ S_{2^n}-1\geq\dfrac{n}{2}$.

4. Montrer que la proposition $\left(\exists M\in\mathbb{R}\right)\left(\forall n\in\mathbb{N}^{*}\right):\ S_n\leq M$ est fausse.

Soient $f$ et $g$ deux applications définies par :

$$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ x\mapsto f(x)=\cos(x)\quad;\quad g:\,]1;+\infty[\,\rightarrow\,]2;+\infty[\,,\ x\mapsto g(x)=\dfrac{2x+10}{x-1}.$$

1. Déterminer $f^{-1}\left(\left\{\dfrac{1}{2}\right\}\right)$.

2. a) Montrer que l'application $f$ n'est pas injective. b) Montrer que l'application $f$ n'est pas surjective.

3. Montrer que $g$ est une bijection et déterminer sa bijection réciproque.

4. Soit l'ensemble $A=\left\{n\in\mathbb{N}\ /\ \dfrac{2n+10}{n-1}\in\mathbb{N}\right\}$. Écrire l'ensemble $A$ en extension.

Soient $A$, $B$ et $C$ les trois ensembles suivants :

$$A=\left\{\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\}\ ;\quad B=\left\{\dfrac{5\pi}{3}+2k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\};$$

$$C=\left\{x+y\sqrt{2}\ /\ (x;y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} \text{ et } x^2-2y^2=1\right\}.$$

1. Montrer que $A\cap B=\varnothing$.

2. a) Montrer que $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$. b) Montrer que $C\neq\varnothing$ et que $0\notin C$.

3. Soient $a$ et $b$ deux éléments de $C$.
   Montrer que $\dfrac{1}{a}\in C$ et $ab\in C$.