Devoir surveillé n°1 (modèle 2) — 1 Bac Sciences Maths

1) Soit $n$ un entier naturel.

1. Montrer que le nombre $n(n+1)$ est pair.
2. En déduire que $n^2+3n+5$ est impair.
3. Montrer que : $$\left(\forall n\in\mathbb{N}\right)\ ;\ \dfrac{n^2+3n+5}{n^2+n}\notin\mathbb{N}.$$

2) Soit $(R)$ la proposition suivante :

$$\left(\forall x\in[0;+\infty[\right)\ ;\ \left(\forall y\in[0;+\infty[\right) : \quad \left(x\neq 4 \ \text{ou}\ y\neq 9\right)\Rightarrow x+y+13\neq 4\sqrt{x}+6\sqrt{y}.$$

1. Déterminer la négation de $(R)$.
2. Montrer que la proposition $(R)$ est vraie.

3)

1. Montrer que pour tout élément $n$ de $\mathbb{N}$ on a : $$3n(2n+3)(n+1)^2+(2n+3)(2n+1)\geq 3(2n+1)(n+1)^3.$$
2. Montrer par récurrence que : $$\left(\forall n\in\mathbb{N}^*\right):\ 1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\geq\dfrac{3n}{2n+1}.$$

1) Soient $E$ un ensemble non vide et $A,B,C,D$ des parties de $E$.

1. Montrer que : $$A\setminus(B\cap C)=(A\setminus B)\cup(A\setminus C).$$
2. Montrer que : $$\Big[(B\setminus C)\subset A\ \text{et}\ (C\setminus D)\subset A\Big]\Rightarrow (B\setminus D)\subset A.$$

2) On considère l'ensemble : $$A=\left\{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{xy}\ /\ (x;y)\in\mathbb{N}^*\times\mathbb{N}^*\right\}.$$

1. Montrer que $0\notin A$.
2. Montrer que $\dfrac{1}{2}\in A$.
3. Montrer que $A\subset[0;1]$.

Soient $f$ et $g$ deux applications définies par :

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto f(x)=x^2+x+2\ ;\qquad g:[1;+\infty[\to[2;+\infty[,\ x\mapsto g(x)=x+\dfrac{1}{x}.$$

1. a) Montrer que : $(\forall x\in\mathbb{R});\ f(-1-x)=f(x)$.

   b) En déduire que l'application $f$ n'est pas injective.

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x)=-\dfrac{1}{4}$, et en déduire que $f$ n'est pas surjective.
3. Montrer que $f(\mathbb{R})=\left[\dfrac{7}{4};+\infty\right[$.
4. Montrer que $g$ est une bijection et déterminer sa bijection réciproque.

Soit $f$ la fonction définie par : $$f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$$

1. Justifier que $D_f=\mathbb{R}$, puis vérifier que $f$ est une fonction impaire.
2. Montrer que : $(\forall x\in\mathbb{R});\ -1

3. a) Montrer que : $(\forall x\in\mathbb{R});\ \big(f(x)\big)^2=1-\dfrac{1}{1+x^2}$.

   b) Étudier la monotonie de $f$ sur $\mathbb{R}$.