Devoir surveillé n°2 (modèle 1) — 1 Bac Sciences Maths

Soit $f$ la fonction définie par : $$f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$

1. Justifier que $D_f=\mathbb{R}$, puis vérifier que $f$ est une fonction impaire.
2. Montrer que : $(\forall x\in\mathbb{R});\ -1
3. 1. Montrer que : $(\forall x\in\mathbb{R});\ \big(f(x)\big)^2=1-\dfrac{1}{1+x^2}$.
   2. Étudier la monotonie de $f$ sur $\mathbb{R}$.

A) Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies par : $$f(x)=x^2-4x+5 \quad\text{et}\quad g(x)=\sqrt{x-1}$$

1. Déterminer $D_f$ et $D_g$ et dresser le tableau de variations des fonctions $f$ et $g$.
2. Construire les courbes $\left(C_f\right)$ et $\left(C_g\right)$.
3. Déterminer graphiquement : $g([1;5])$ et $g([5;+\infty[)$.

B) Soit $h$ une fonction numérique définie par : $$h(x)=x+4-4\sqrt{x-1}$$

1. 1. Déterminer $D_h$ l'ensemble de définition de la fonction $h$.
   2. Montrer que $1$ est une valeur minimale de la fonction $h$ sur $D_h$.
2. 1. Vérifier que : $\left(\forall x\in D_h\right):\ h(x)=f\circ g(x)$.
   2. Étudier la monotonie de $h$ sur les intervalles $[1;5]$ et $[5;+\infty[$.

$ABCD$ est un parallélogramme, $I$ est le milieu du segment $[BC]$ et $m$ un réel.
Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A;4),\ (B;-m)$ et $(C;m)$.

1. 1. Écrire $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$ et $m$.
   2. Déterminer $m$ pour que $G$ soit le milieu du segment $[AD]$.
2. On suppose dans cette question que $m=4$.
   1. Construire le point $G$.
   2. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que : $$\left\|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right\|=\left\|2\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\right\|$$
3. On suppose dans cette question que $m\neq 4$ et $m\neq -4$.
   Soit $H$ le barycentre des points pondérés $(A;4)$ et $(B;-m)$, et $K$ le barycentre des points pondérés $(A;4)$ et $(C;m)$.
   1. Montrer que les points $I$, $H$ et $K$ sont alignés.
   2. Discuter, suivant les valeurs de $m$, la nature de l'ensemble des points $M$ tels que : $$\left\|4\overrightarrow{MA}+m\overrightarrow{MC}\right\|-m\leq 4$$

Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ telle que : $$\forall x,y\in\mathbb{R};\quad f(x+y)=f(x)+f(y)$$

1. Calculer $f(0)$ puis montrer que $f$ est impaire.
2. Montrer que : $\forall n\in\mathbb{N};\ f(nx)=n\,f(x)$.
3. En déduire que : $\forall n\in\mathbb{N};\ f(n)=n\,f(1)$.
4. Montrer que : $\forall p\in\mathbb{Z};\ f(px)=p\,f(x)$.