Devoir surveillé n°2 (modèle 2) — 1 Bac Sciences Maths

Soient $ABC$ un triangle dans le plan $(P)$ et $G = \text{bary}\{(A,-1)\,;\,(B,3)\,;\,(C,2)\}$.

On considère : $E = \text{bary}\{(A,-1)\,;\,(B,3)\}$, $F = \text{bary}\{(A,-1)\,;\,(C,2)\}$ et $K = \text{bary}\{(B,3)\,;\,(C,2)\}$.

1. Construire les points $E$, $F$ et $K$.

2. a) Montrer que $G$ est le milieu du segment $[CE]$.

   b) Montrer que les droites $(CE)$, $(BF)$ et $(AK)$ sont concourantes en $G$.

3. a) Déterminer $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

   b) Montrer que $A = \text{bary}\{(G,4)\,;\,(B,-3)\,;\,(C,-2)\}$.

4. Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan $(P)$ tels que : $$\left\| -\overrightarrow{MA} + 3\,\overrightarrow{MB} + 2\,\overrightarrow{MC} \right\| = 4\left\| \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{AC} \right\|.$$

Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ telle que : $$f(x) = \left( x - 2E\!\left(\dfrac{x}{2}\right) \right)\left( E\!\left(\dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{x}{2} \right)^{2}.$$

1. Montrer que $f$ est périodique de période $T = 2$.
2. Déterminer l'expression de $f(x)$ pour tout $x$ dans $[0\,;2[$.
3. Tracer $(C_f)$, la courbe de $f$, dans un repère orthonormé.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $]0\,;+\infty[$ par leurs courbes représentatives $(C_f)$ et $(C_g)$.

1. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
2. Déterminer graphiquement $f([4\,;5])$.
3. Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) > 0$.

4. a) Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 0$.

   b) En déduire l'ensemble de définition de la fonction $h$ définie par $h(x) = \dfrac{1}{f(x)}$.

5. Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) < g(x)$.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que : $f(x) = \sqrt{x+3}$ et $g(x) = \dfrac{1}{3}x^{3}$.

1. Déterminer $D_f$ et $D_g$, puis dresser le tableau de variations de $f$, puis de $g$.
2. Construire $(C_f)$ et $(C_g)$ dans le même repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
3. Déterminer graphiquement $f([-3\,;+\infty[)$.
4. Déterminer graphiquement combien de solutions admet l'équation $f(x) = g(x)$.

5. a) Déterminer $D_{g\circ f}$, l'ensemble de définition de la fonction $g\circ f$.

   b) Donner l'expression de $g\circ f(x)$ pour $x$ dans $D_{g\circ f}$.

   c) Étudier le sens de variations de la fonction $g\circ f$ sur $[-3\,;+\infty[$.