Devoir surveillé n°3 (modèle 1) — 1 Bac Sciences Maths

A) On donne la relation : $$\forall (a;b)\in\mathbb{R}^2 :\ \cos(a+b)=\cos a\,\cos b-\sin a\,\sin b$$

1. En déduire que : $\forall (a;b)\in\mathbb{R}^2 :\ \sin(a+b)=\sin a\,\cos b+\cos a\,\sin b$
2. En déduire que : $\forall (a;b)\in\mathbb{R}^2 :\ \sin(a-b)=\sin a\,\cos b-\cos a\,\sin b$
3. En déduire que : $\forall (p;q)\in\mathbb{R}^2 :\ \sin p+\sin q=2\sin\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cos\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$

B) On pose pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $$A(x)=\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x$$

1. Calculer $A(0)$, $A(\pi)$ et $A\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.
2. Transformer en produit les sommes suivantes : $\sin 3x+\sin x$ et $\sin 4x+\sin 2x$.
3. Montrer que : $A(x)=4\cos x\times\sin\left(\dfrac{5x}{2}\right)\times\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$.
4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $A(x)=0$.
5. Résoudre dans $[0;\pi]$ l'équation $A(x)=0$.

Soient $A(1;-1)$, $B(3;1)$ et $C(3;3)$ trois points du plan.

1. Déterminer les coordonnées de $I$ le milieu du segment $[AB]$ puis de $J$ le milieu du segment $[AC]$.
2. a) Déterminer une équation de $(L)$ la médiatrice du segment $[AB]$.
   b) Déterminer une équation de $(L')$ la médiatrice du segment $[AC]$.
   c) Déterminer les coordonnées de $K$ le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.

Soit $(C_m)$ l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que : $$x^2+y^2-2mx-2(m+1)y+2m^2+2m=0$$

1. Montrer que pour tout $m\in\mathbb{R}$, $(C_m)$ est un cercle dont on déterminera le centre $\Omega_m$ et le rayon $R$.
2. Quel est l'ensemble des points $\Omega_m$ lorsque $m$ décrit $\mathbb{R}$ ?
3. Quels sont les cercles $(C_m)$ tangents à la droite d'équation $2y=3x$ ?
4. Trouver toutes les droites parallèles à la droite d'équation $y=x$ et tangentes à tous les cercles $(C_m)$.

Soit $(u_n)$ une suite telle que : $$\forall n\in\mathbb{N}:\ u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{21+u_n}\quad\text{et}\quad u_0=1$$

1. Calculer $u_1$.
2. Montrer par récurrence que $\forall n\in\mathbb{N}$, $u_n>0$.
3. Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}\le\dfrac{1}{7}u_n$.
4. En déduire la monotonie de la suite $(u_n)$.
5. Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}$, $0