Devoir surveillé n°3 (modèle 2) — 1 Bac Sciences Maths

Soient $A(2\,;0)$ ; $B(0\,;2)$ ; $C(2\,;2)$ trois points, et $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[AC]$ et $[OA]$.

1. a) Calculer $\cos\left(\overrightarrow{BI}\,;\overrightarrow{BJ}\right)$ et $\sin\left(\overrightarrow{BI}\,;\overrightarrow{BJ}\right)$.
   b) En déduire l'aire du triangle $IBJ$.
2. Soit $(D)$ la droite d'équation $(1-m)x+y-2=0$, avec $m\neq 1$.
   a) Déterminer, en fonction de $m$, les distances $d=d(A;(D))$ et $d'=d(C;(D))$.
   b) Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $d'=2d$.

Soient $A\left(1\,;\dfrac{5}{2}\right)$ ; $B\left(1\,;-\dfrac{3}{2}\right)$ ; $C\left(-1\,;\dfrac{1}{2}\right)$ trois points du plan.

1. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
2. a) Montrer que $x^2+y^2-2x-y-\dfrac{11}{4}=0$ est l'équation du cercle $(C)$ circonscrit au triangle $ABC$.
   b) Déterminer $\Omega$ le centre de $(C)$ et $r$ son rayon.
3. On considère la droite $(D)\ :\ x+2y=0$.
   a) Calculer $d(\Omega;(D))$ puis en déduire la position relative de $(C)$ et $(D)$.
   b) Résoudre graphiquement le système $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2-2x-y-\dfrac{11}{4}\leq 0\\ x+2y\leq 0\end{array}\right.$

A) Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls.
On pose $A(x)=a\cos x+b\sin x$.

1. Montrer qu'il existe $\alpha\in\mathbb{R}$ tel que $\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos\alpha$ et $\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin\alpha$.
2. En déduire que $a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\alpha)$.

B) Soit $x\in\mathbb{R}$.
On pose $A(x)=\cos 3x-3\sin x+3\sqrt{2}\,\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$.

1. a) Montrer que $\cos(3x)=\cos x\left(4\cos^2 x-3\right)$.
   b) Calculer $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ en fonction de $\cos x$ et $\sin x$.
   c) En déduire que $A(x)=4\cos^3 x$.
2. a) Résoudre dans $I=[-\pi;\pi]$ l'équation $A(x)=\dfrac{1}{2}$.
   b) Résoudre dans $I$ l'inéquation $A(x)\leq\dfrac{1}{2}$.

On pose $\mathcal{C}=\left\{M(x\,;y)\in\mathcal{P}\ /\ 3MA^2-2MB^2=-11\right\}$, où $A(2;3)$ et $B(-1;2)$, et soit $G$ le barycentre du système $\{(A;3);(B;-2)\}$.

1. Déterminer les coordonnées du point $G$ et calculer $GA^2$ et $GB^2$.
2. Montrer que $\mathcal{C}$ est le cercle de centre $G$ et de rayon $7$.
3. Calculer $MA^2$ et $MB^2$ en fonction de $x$ et $y$ et retrouver, encore une fois, la nature de l'ensemble $\mathcal{C}$.