Devoir surveillé n°1 (modèle 1) — 2 Bac Sciences Maths

1. Calculer les limites :

   $$A)\ \lim_{x \to -\infty}\ \sqrt[4]{x^4+x^3}-\sqrt{x^2+2x} \qquad ; \qquad B)\ \lim_{x \to 1}\ \dfrac{\arctan(\sqrt[3]{x}-1)}{\sqrt{x}-1}$$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\sqrt[3]{10-x}-\sqrt{x-1}=1$

3. Montrer que : $$\forall x \in \,]0;1[\ :\ 2\arctan(x)=\arctan\left(\dfrac{2x}{1-x^2}\right)$$

4. Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$, montrer que : $$\exists c \in \,]0,1[\ :\ f(c)=\dfrac{1}{1-c}-\dfrac{1}{c}$$

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par :

$$f(x)=\arctan\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)$$

1. Montrer que $f$ est une bijection de $I=\mathbb{R}^{+}$ vers un intervalle $J$ que l'on déterminera.

2. Montrer que : $$\forall x \in [0,+\infty[\ ;\ \exists! \theta \in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right[\ :\ x=(\tan\theta)^2$$

3. a) Montrer que : $$\forall x \in [0,+\infty[\ :\ f(x)=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{2}\arctan\left(\sqrt{x}\right)$$

   b) Déterminer $f^{-1}$ pour tout $x \in J$.

I) On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par : $f(x)=\sqrt{x^2+1}-x$

1. Montrer que $f$ est bijective de $\mathbb{R}^{+}$ vers l'intervalle $\,]0,1]$.

2. Déterminer la fonction réciproque $f^{-1}$.

3. Montrer que : $$\exists k \in [0,1[\ :\ \forall x \geq 0\ ,\ \left|f(x)-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right|\leq k\left|x-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right|$$

4. Montrer que : $$\forall x \in \,\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[\ :\ f(\tan x)=\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)$$

II) On considère la suite $\left(u_n\right)_{n \geq 0}$ définie par : $\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ et $u_0=1$.

1. Montrer que : $\forall n \in \mathbb{N},\ u_n>0$.

2. Montrer que : $$\forall n \in \mathbb{N}\ :\ \left|u_{n+1}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right|\leq k\left|u_n-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right|$$

3. Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n \geq 0}$ est convergente en déterminant sa limite.

4. On pose $v_n=\arctan\left(u_n\right)-\dfrac{\pi}{6}$. Montrer que la suite $\left(v_n\right)_{n \geq 0}$ est géométrique de raison $q=-\dfrac{1}{2}$.

5. Montrer que : $$\forall n \in \mathbb{N}\ :\ u_n=\tan\left(\dfrac{\pi}{12}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n+\dfrac{\pi}{6}\right)$$ puis en déduire une deuxième fois $\lim u_n$.

Soit $n$ un entier naturel et $f_n$ la fonction définie sur $[0,1]$ par : $f_n(x)=x^5+nx-n$.

1. Montrer que : $$\left(\forall n \in \mathbb{N}\right)\ ;\ \left(\exists! x_n \in [0,1]\right)\ :\ f_n(x_n)=0$$

2. Montrer que $\left(x_n\right)_{n \geq 0}$ est croissante puis en déduire qu'elle est convergente (on pourra étudier le signe de la différence $f_{n+1}(x)-f_n(x)$).

3. Montrer que : $$\forall n \in \mathbb{N}^{*}\ :\ 1-\dfrac{1}{n}\leq x_n\leq 1$$ puis en déduire $\lim x_n$.

4. Déterminer la limite $\lim\, n\left(x_n-1\right)$.