Devoir surveillé n°1 (modèle 2) — 2 Bac Sciences Maths

Exercice 1 — Continuité d'une fonction

1. a) Calculer les limites suivantes :

   $$A=\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt[3]{2x-1}-1}{1-x^2}\quad ;\quad B=\lim_{x\to 2}\dfrac{x^3\,\sqrt[4]{2x-3}-8}{x-2}$$

   b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $(E):\ \sqrt[3]{2x-1}=\sqrt{x}$

2. a) Montrer que : $\left(\forall x\in\,]0;+\infty[\right)\ ;\ \arctan x+\arctan\dfrac{1}{x}=\dfrac{\pi}{2}$

   b) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(2\sqrt{x^2+1}\,\arctan(x)-\pi x\right)$

3. a) Montrer que : $\left(\forall t\in\,]{-}\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}[\,\setminus\{0\}\right)$ on a : $\dfrac{1-\cos(t)}{\sin(t)}=\tan\left(\dfrac{t}{2}\right)$.

   b) Montrer que : $\left(\forall x\in\mathbb{R}^*\right)\ \arctan\left(\dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)=\dfrac{1}{2}\arctan(x)$ (Tu peux poser $t=\arctan(x)$).

4. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $x_1,x_2,\ldots,x_n$ des éléments de $I$.

   Montrer que : $\exists c\in I:\ f(c)=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f(x_k)$

5. Soit $a\in\mathbb{R}$, on pose : $A_n=\dfrac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}E(ka)$.

   Montrer que : $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}A_n=\dfrac{a}{2}$

Exercice 2 — Suites numériques

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]{-}1;1[$ par :

$$f(x)=-1+\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$

1. a) Montrer que : $\forall x\in\,]{-}1;1[\ ;\ f'(x)=\dfrac{1}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}$, et déduire les variations de $f$ sur $]{-}1;1[$.

   b) Montrer que : $\forall x\in\,]{-}1;1[\,\setminus\{0\}\ ;\ f'(x)>1$.

2. a) Montrer que l'équation $f(x)=x$ admet une solution unique $\alpha$ dans $]{-}1;1[$ et que $\alpha>\dfrac{4}{5}$.

   b) Donner le signe de $f(x)-x$.

3. a) Montrer que $f$ réalise une bijection de $]{-}1;1[$ dans $\mathbb{R}$.

   b) Montrer que $\forall x\in\mathbb{R}\ ;\ f^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{1+(x+1)^2}}$.

4. On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : $\left\{\begin{matrix}u_0=\dfrac{4}{5}\\ \forall n\in\mathbb{N}:\ u_{n+1}=f^{-1}(u_n)\end{matrix}\right.$

   a) Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}\ ;\ 0\le u_n\le\alpha$.

   b) Montrer que $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est monotone.

   c) En déduire que $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente et calculer sa limite.

5. a) Montrer que : $\forall(x;y)\in[0;1]^2\ ;\ \left|f^{-1}(x)-f^{-1}(y)\right|\le\dfrac{1}{\sqrt{2}}|x-y|$ (On peut poser $X=x+1$ et $Y=y+1$).

   b) Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}\ ;\ \left|u_{n+1}-\alpha\right|\le\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left|u_n-\alpha\right|$.

   c) Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}\ ;\ \left|u_n-\alpha\right|\le\dfrac{1}{5}\times\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n$.

   d) Déterminer l'entier naturel $p$ tel que : $\left|u_p-\alpha\right|<10^{-3}$.