Devoir surveillé n°2 (modèle 1) — 2 Bac Sciences Maths

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle $I$ :

1. $v(x)=\dfrac{x^2+2x}{\left(x^3+3x^2\right)^4}$ ; $I=\left]0;+\infty\right[$
2. $h(x)=\dfrac{\arctan^2(x)}{1+x^2}$ ; $I=\mathbb{R}$
3. $k(x)=\dfrac{\cos\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}$ ; $I=\left]0;+\infty\right[$

Soit $F$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par : $F(x)=\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{x^2}$.

1. En appliquant le théorème des accroissements finis à $F$, montrer que : $$\forall k\geq 1:\quad F(k+1)-F(k)\leq\dfrac{1}{\sqrt[3]{k}}\leq F(k)-F(k-1).$$
2. En déduire que : $$\forall n\geq 1:\quad F(n+1)-F(1)\leq\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt[3]{k}}\leq F(n).$$
3. On pose $S_n=\dfrac{1}{\sqrt[3]{n^2}}\times\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt[3]{k}}$ où $n\geq 1$.
   Déterminer la limite de $S_n$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$\left\{\begin{aligned}&f(x)=-\dfrac{2}{\pi}\arctan\left(\sqrt{3-x}\right) &&\text{si } x\leq 3\\&f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x^2} &&\text{si } x>3\end{aligned}\right.$$

1. a) Étudier la continuité de $f$ en $3$.
   b) Étudier la dérivabilité de $f$ en $3$ et donner une interprétation géométrique.
2. a) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ et en déduire la nature de la branche infinie de $\left(C_f\right)$ au voisinage de $-\infty$.
   b) Montrer que la droite $(D):y=x-1$ est une asymptote à $\left(C_f\right)$ au voisinage de $+\infty$.
3. Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}-\{3\}$ puis dresser le tableau de variation de $f$.
4. Tracer la courbe $\left(C_f\right)$ dans un repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ ; calculer $f(0)$, $f(2)$ et $f(6)$.
5. Soit $g$ la restriction de $f$ à $]-\infty;3]$.
   a) Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.
   b) Déterminer $g^{-1}$.
   c) Tracer $(\Gamma)$ la courbe de $g^{-1}$ dans le même repère.
6. a) Montrer que : $\forall x\in[-1;0]:\ \left|f'(x)\right|\leq\dfrac{1}{4\pi\sqrt{3}}$.
   b) Montrer que $f([-1;0])\subset[-1;0]$ puis montrer que l'équation $f(x)=x$ admet une solution unique $\alpha$ dans $[-1;0]$.
7. On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\geq 0}$ définie par $u_0=0$ et $\forall n\in\mathbb{N}:\ u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
   a) Montrer que : $\forall n\in\mathbb{N}:\ -1\leq u_n\leq 0$.
   b) Montrer que : $\exists k\in\,]0;1[\,;\ \forall n\in\mathbb{N}:\ \left|u_{n+1}-\alpha\right|\leq k\left|u_n-\alpha\right|$.
   c) Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n\geq 0}$ est convergente en précisant sa limite.