Devoir surveillé n°2 (modèle 2) — 2 Bac Sciences Maths

I) Soit $f$ la fonction définie sur $I = \left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$ par : $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$.

1. Montrer que $\forall x \in I \;:\; x\cos x - \sin x < 0$, en déduire que $\forall x \in I \;:\; f'(x) < 0$.

2. a) On pose $g(x) = x\cos x - \sin x + \dfrac{1}{2}x^2$.
   Montrer que $\forall x \in I \;:\; g'(x) \geq 0$.

   b) En déduire que $\forall x \in I \;:\; \left| f'(x) \right| \leq k$ avec $k = \dfrac{1}{2}$.

3. Montrer que l'équation $f(x) = x$ admet une unique solution $\alpha$ dans $I$.

II) On considère la suite $\left(u_n\right)_{n \geq 0}$ définie par : $\forall n \in \mathbb{N} \;:\; u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ et $u_0 = \dfrac{\pi}{2}$.

1. Montrer que $\forall n \in \mathbb{N} \;:\; u_n \in I$.
2. Montrer que $\forall n \in \mathbb{N} \;:\; \left| u_{n+1} - \alpha \right| \leq k \left| u_n - \alpha \right|$.
3. En déduire que $\left(u_n\right)$ est convergente en précisant sa limite.

I) Soit la fonction $g$ définie sur $\left]-\infty;1\right]$ par :

$$g(1) = 1 - \dfrac{\pi}{2} \quad \text{et} \quad g(x) = \arctan\left(\dfrac{x}{x-1}\right) + \dfrac{x}{2x^2 - 2x + 1} \ \text{ si } x \in \left]-\infty;1\right[$$

1. Montrer que $g$ est continue à gauche en $1$ et calculer $\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)$.

2. a) Montrer que $g$ est dérivable sur $\left]-\infty;1\right[$ et que $\forall x \in \left]-\infty;1\right[ \;:\; g'(x) = \dfrac{-2x(2x-1)}{\left(2x^2 - 2x + 1\right)^2}$.

   b) Dresser le tableau de variations de $g$.

3. Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet deux solutions $\alpha$ et $\beta$ dans $\left]-\infty;1\right[$ telles que $0{,}5 < \alpha < 1$ et $\beta = 0$.
4. Donner le signe de $g$.

II) Pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ on pose : $\varphi(x) = \arctan(x) - x + \dfrac{1}{3}x^3$.

1. Montrer que $\forall x \in \mathbb{R} \;:\; \left| \varphi'(x) \right| \leq x^4$.
2. En déduire que $\forall x \in \mathbb{R} \;:\; \left| \varphi(x) - \varphi(0) \right| \leq |x|^5$.
3. Montrer que $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\arctan(x) - x}{x^2} = 0$.
4. En déduire que $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\arctan\left(\frac{x}{x-1}\right) + x}{x^2} = -1$.

III) Soit $f$ la fonction définie sur $\left]-\infty;1\right]$ par :

$$f(x) = \dfrac{1}{x}\arctan\left(\dfrac{x}{x-1}\right) \ \text{ si } x \in \left]-\infty;0\right[ \cup \left]0;1\right[ \quad \text{et} \quad f(0) = -1, \ f(1) = -\dfrac{\pi}{2}$$

1. a) Montrer que $f$ est continue à gauche en $1$ et en $0$.

   b) Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$ et donner une interprétation géométrique.

   c) Calculer $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ puis interpréter le résultat géométriquement.

2. a) Montrer que $\forall x \in \left]-\infty;0\right[ \cup \left]0;1\right[ \;:\; f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\,g(x)$.

   b) Dresser le tableau de variations de $f$.

3. Soit $x \in \left]\alpha;1\right[$.

   a) Montrer que $\exists c \in \left]x;1\right[ \;:\; \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} = -\dfrac{1}{c^2}\,g(c)$, et en déduire que $\forall x \in \left]\alpha;1\right[ \;:\; -g(x) \leq \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} \leq -\dfrac{1}{x^2}\,g(1)$.

   b) Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche en $1$.

4. Tracer $\left(C_f\right)$ dans un repère orthonormé (on prend $\alpha = \dfrac{3}{4}$ et $f(\alpha) = -\dfrac{5}{3}$).