Devoir surveillé n°3 (modèle 1) — 2 Bac Sciences Maths

Calculer les limites suivantes :

$$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{\ln^{3}(x)-2x}{\ln^{2}(x)+x^{2}}\quad;\quad\lim_{x\rightarrow +\infty}x\left(e^{\sqrt{x^{2}+1}-x}-1\right)$$

Soit $n\in\mathbb{N}^{*}$.
On considère la fonction $f_{n}$ définie sur $]0,+\infty[$ par :

$$f_{n}(x)=x+n\ln(x)-n$$

1. a) Calculer les limites $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f_{n}(x)$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}f_{n}(x)$.
   b) Montrer que $f_{n}$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et calculer $f_{n}'(x)$ pour $x>0$.

2. a) Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}^{*},\ \exists!\,a_{n}\in\,]0,+\infty[\ ,\ f_{n}(a_{n})=0$.
   b) Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}^{*},\ a_{n}\in[1,e[$.
   c) Montrer que $(a_{n})_{n\geq 1}$ est strictement croissante, en déduire qu'elle est convergente.
   d) Montrer que $\lim \ln(a_{n})=1$ et en déduire $\lim a_{n}$.

3. Soit $F$ la primitive de la fonction $\ln$ sur $]0,+\infty[$ vérifiant $F(e)=0$.
   Montrer que $F(x)=x\ln(x)-x$ pour tout $x\in\,]0,+\infty[$.

4. a) Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}^{*},\ F(a_{n})=-\dfrac{a_{n}^{2}}{n}$.
   b) Montrer que $\forall n\geq 2,\ \left(e-a_{n}\right)\ln(a_{n})<\dfrac{a_{n}^{2}}{n}\lt e-a_{n}$ (utiliser le théorème des accroissements finis).
   c) Montrer que $\forall n\geq 2,\ a_{n}^{2}\lt n\left(e-a_{n}\right)<\dfrac{a_{n}^{2}}{\ln(a_{n})}$ et déterminer $\lim n\left(e-a_{n}\right)$.

I) On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$g(x)=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)e^{-2x}-\dfrac{1}{2}$$

1. Calculer $g'(x)$, dresser le tableau de variations de $g$, et en déduire le signe de $g$.

2. On considère la suite $(u_{n})_{n\geq 0}$ définie par $\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=g(u_{n})$ et $u_{0}=-\dfrac{1}{4}$.
   a) Montrer que $\forall n\in\mathbb{N},\ -\dfrac{1}{2}\lt u_{n}<0$.
   b) Étudier la monotonie de $(u_{n})$, en déduire qu'elle est convergente et déterminer sa limite.
   c) Pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$, on pose $S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}u_{k}$.
   Calculer $S_{n}$ en fonction de $u_{n}$ et calculer $\lim S_{n}$.

II) On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=(x+1)e^{-2x}+x$$

1. Étudier les branches infinies de $(C)$, la courbe de $f$.

2. Étudier la position relative de $(C)$ et de la droite $(\Delta):y=x$.

3. a) Montrer que $\forall x\in\mathbb{R},\ f'(x)=-2g(x)$.
   b) Dresser le tableau de variation de $f$.

4. Montrer que le point $I(0,1)$ est un point d'inflexion de $(C)$ et préciser la tangente en $I$.

5. Construire $(C)$ dans un repère orthonormé.