Devoir surveillé n°3 (modèle 2) — 2 Bac Sciences Maths

Calculer les limites suivantes :

$$\lim_{x\to 1^{+}} \left( x^{2}-1 \right)\ln\left( 1-\frac{1}{x} \right) \qquad ; \qquad \lim_{x\to +\infty} x^{2}\left( e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x+1}} \right)$$

Soit $n$ un entier naturel tel que $n\geq 1$.
On pose :

$$u_{n} = \prod_{k=1}^{n} \left( 1 + \frac{k}{n^{2}} \right) \qquad \text{et} \qquad v_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$$

1. Montrer que : $\forall t\geq 0,\ t - \dfrac{1}{2}t^{2} \leq \ln(1+t) \leq t$.

2. En déduire que : $\forall n\geq 1,\ \forall k\in\{1,2,\ldots,n\}$, $\ \dfrac{k}{n^{2}} - \dfrac{1}{2n^{2}} \leq \ln\left( 1 + \dfrac{k}{n^{2}} \right) \leq \dfrac{k}{n^{2}}$.

3. Montrer que : $\forall n\in\mathbb{N}^{*},\ e^{\frac{1}{2}} \leq u_{n} \leq e^{\frac{n+1}{2n}}$.
   Déterminer $\lim u_{n}$.

4. Montrer en utilisant le théorème des accroissements finis que : $\forall k\geq 1,\ \dfrac{1}{k+1} < \ln\left( \dfrac{k+1}{k} \right) < \dfrac{1}{k}$.

5. En déduire $\lim v_{n}$ et $\lim \dfrac{v_{n}}{\ln(n)}$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par :

$$f(x) = \frac{x}{\ln x} \ \text{ si } x > 0 \text{ et } x \neq 1, \qquad f(0) = 0$$

1. Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$ à droite, puis donner une interprétation géométrique au résultat obtenu.

2. Étudier la branche infinie de $(C_{f})$.

3. Calculer $f'(x)$ pour $x\in\,]0,+\infty[\,\setminus\{1\}$ et dresser le tableau de variation de $f$.

4. Montrer que $(C_{f})$ admet un point d'inflexion que l'on déterminera.

5. Tracer $(C_{f})$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

6. Soit $n\in\mathbb{N}$ et $n\geq 3$.
   Montrer que l'équation $f(x) = n$ admet deux solutions $a_{n}$ et $b_{n}$ dans $]0,+\infty[$ telles que $1 < a_{n} < e < b_{n}$.

7. Montrer que $\forall n\geq 3,\ b_{n} \geq n$ ; en déduire $\lim b_{n}$.

8. Montrer que $(a_{n})_{n\geq 3}$ est décroissante, en déduire qu'elle est convergente.

9. a) Montrer que $\forall n\geq 3,\ \dfrac{1}{n} < \ln(a_{n}) < \dfrac{e}{n}$, puis en déduire $\lim a_{n}$.

   b) Déterminer $\lim \left( a_{n} \right)^{b_{n}}$.