Devoir surveillé n°4 (modèle 1) — 2 Bac Sciences Maths

On considère l'équation différentielle $(E):\ y'' - 6y' + 9y = 2e^{3x}$ et on pose $f(x) = x^2 e^{3x}$, $x \in \mathbb{R}$.

1. Résoudre l'équation différentielle $(E_0):\ y'' - 6y' + 9y = 0$.

2. a) Vérifier que $f$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$.

   b) Déduire une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

3. On pose $y = z\,e^{3x}$.

   a) Montrer que $y$ est une solution de $(E) \Leftrightarrow z'' = 2$.

   b) Résoudre l'équation différentielle $(E)$.

On pose $a = \sqrt{2 + \sqrt{2}} + i\sqrt{2 - \sqrt{2}}$.

1. Écrire $a^2$ sous la forme algébrique.

2. Écrire $a^2$ sous forme trigonométrique.

3. Déduire $a$ sous forme trigonométrique.

4. Calculer $\sin\dfrac{7\pi}{8}$ et $\cos\dfrac{7\pi}{8}$.

On considère le point $M$ d'affixe le nombre complexe $z$, et $M'$ le point d'affixe $z' = \dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z}\right)$.

1. Déterminer le nombre complexe $z$ pour que les points $M$ et $M'$ soient confondus.

2. On suppose que $M$ est différent des points $A$ et $B$ d'affixes respectives $1$ et $-1$.
   Montrer que $\dfrac{z' + 1}{z' - 1} = \left(\dfrac{z + 1}{z - 1}\right)^2$.

3. Soit la droite $(\Delta)$ la médiatrice du segment $[AB]$.
   Montrer que si $M$ appartient à $(\Delta)$, alors $M'$ appartient à $(\Delta)$.

4. Soit $(C)$ le cercle de diamètre $[AB]$.
   Montrer que si $M$ appartient à $(C)$, alors les points $A$, $B$ et $M'$ sont alignés.

Pour tout $z$ de $\mathbb{C} - \{i\}$ on pose $f(z) = \dfrac{\bar{z}(z - i)}{\bar{z} + i}$.
Soient les points $A(i)$, $A'(-i)$, $M(z)$, $M'(f(z))$.

1. Soit $z \in \mathbb{C} - \{0, i\}$.
   Montrer que $|f(z)| = |z|$ et $\arg(f(z)) = -\arg(z) + 2\arg(z - i)\ [2\pi]$.

2. Montrer que : $\forall z \in \mathbb{C} - \{i\} :\ f(z) = -i \Leftrightarrow |z| = 1$.

3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $f(z) = z$.

4. a) Montrer que $f(z) + i = \dfrac{|z|^2 - 1}{|z - i|^2}(z - i)$ et $f(z) - z = i\dfrac{2\operatorname{Re}(z)}{|z - i|^2}(i - z)$, où $z \neq i$.

   b) En déduire que $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{A'M'}$ sont colinéaires et que $\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{MM'}$.

5. Donner une méthode pour construire le point $M'$ à partir de $M(z)$.