Devoir surveillé n°4 (modèle 2) — 2 Bac Sciences Maths

Soit $F$ la fonction primitive de la fonction $f : x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(0)=0$.

1. Montrer que $F$ est impaire.
2. 1. Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}^{+} : F(x) \geq \ln(x+1)$.
   2. En déduire $\lim\limits_{x \to +\infty} F(x)$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} F(x)$.
3. Montrer que $F$ est bijective de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ (on pose $G = F^{-1}$).
4. Montrer que $G$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que $G'(x) = \sqrt{1 + G^2(x)}$.
5. Montrer que $G$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et que $G$ est une solution de l'équation $y'' - y = 0$.
6. Déterminer $G(x)$ puis $F(x)$ en fonction de $x$.

On pose $b = (1 - \sqrt{3}) + i(1 + \sqrt{3})$ et $a = (1 + i)\,b$.

1. Montrer que $a = -2\sqrt{3} + 2i$, puis calculer $|a|$.
2. Écrire $a$ puis $b$ sous la forme trigonométrique.
3. En déduire les valeurs exactes de $\sin\dfrac{7\pi}{12}$ et $\cos\dfrac{7\pi}{12}$.

On pose $f(z) = \dfrac{z - i}{z + 1}$ avec $z \in \mathbb{C} - \{-1\}$.
Soit $M$ l'image de $z$ dans le plan complexe.

1. Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ pour lesquels $f(z) \in i\mathbb{R}$.
2. Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ pour lesquels $f(z) \in \mathbb{R}$.

On considère dans le plan complexe les points $M_1(z_1)$ et $M_2(z_2)$ tels que les points $O$, $M_1$ et $M_2$ soient deux à deux distincts et non alignés.
Soit $M(z)$ le point d'affixe $z$ vérifiant :

$$z = \dfrac{2 z_1 z_2}{z_1 + z_2}$$

1. 1. Montrer que $\dfrac{z_1 - z}{z_2 - z} \times \dfrac{z_2}{z_1} = -1$.
   2. En déduire que $M(z)$ appartient au cercle circonscrit au triangle $O M_1 M_2$.
2. Montrer que si $z_2 = \overline{z_1}$ alors le point $M(z)$ appartient à l'axe réel.
3. On suppose que $M_2$ est l'image de $M_1$ par la rotation $r = R(O ; \alpha)$ où $\alpha \in \,]0 ; \pi[$.
   1. Calculer $z_2$ en fonction de $z_1$ et $\alpha$.
   2. En déduire que le point $M(z)$ appartient à la médiatrice du segment $[M_1 M_2]$.
4. Soit $\theta \in \,]0 ; \pi[$.
   On suppose que $z_1$ et $z_2$ sont les solutions de l'équation : $$6 t^2 - (e^{i\theta} + 1) t + e^{i\theta} - 1 = 0$$
   1. Sans calculer $z_1$ et $z_2$, vérifier que $z = 2\,\dfrac{e^{i\theta} - 1}{e^{i\theta} + 1}$.
   2. Donner, en fonction de $\theta$, la forme trigonométrique de $z$.