Devoir surveillé n°5 (modèle 1) — 2 Bac Sciences Maths

On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation : $(E)\ :\ z^2 - 4iz - 2 + 2i\sqrt{3} = 0$

1. Vérifier que le nombre $a = 1 + i(2 - \sqrt{3})$ est une solution de $(E)$ ; en déduire $b$ la $2^{\text{ème}}$ solution de $(E)$.
2. Montrer que $a^2 = 4(2 - \sqrt{3})\,e^{i\frac{\pi}{6}}$, puis en déduire la forme trigonométrique de $a$.
3. Calculer $a \times b$ ; en déduire la forme trigonométrique de $b$.
4. On considère les points $A(a)$, $B(b)$ et $C(c)$ tel que $c = 2i + 2e^{i\frac{\pi}{7}}$.
   Soit $(\Gamma)$ le cercle de diamètre $[AB]$.
   1. Déterminer $\omega$ l'affixe du point $\Omega$, centre de $(\Gamma)$.
   2. Montrer que $(\Gamma)$ passe par $C$ et $O$, et en déduire que $\dfrac{c - a}{c - b} \in i\mathbb{R}$.

1) Calculer les intégrales suivantes :

$$A = \int_{0}^{\ln(\sqrt{3})} \frac{1}{e^x + e^{-x}}\,dx \quad ;\quad B = \int_{0}^{1} 3x^2 \arctan(x)\,dx \quad ;\quad C = \int_{0}^{1} \frac{1}{2 + \sqrt{x}}\,dx$$

2) On pose $I = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{2 - \sin^2(x)}\,dx$ et $J = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{2 - \sin^2(x)}\,dx$.

1. Montrer que $J = \dfrac{\pi}{2} I$ (poser $x = \pi - t$).
2. Calculer $I$ et en déduire la valeur de $J$.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
On pose : $u_n = \displaystyle\int_{0}^{1} \frac{t}{2t + 1}\,e^{\frac{t}{n}}\,dt$.

1. Étudier la monotonie de $(u_n)_{n \geq 1}$.
2. Montrer que $(u_n)_{n \geq 1}$ est convergente.
3. Calculer l'intégrale $I = \displaystyle\int_{0}^{1} \frac{t}{2t + 1}\,dt$.
4. Montrer que $I \leq u_n \leq I\,e^{\frac{1}{n}}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
   En déduire $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n$.

On considère la fonction $F$ définie sur $I = \,]0, +\infty[$ par : $F(x) = \displaystyle\int_{\ln(2)}^{x} \frac{1}{\sqrt{e^t - 1}}\,dt$.

1. 1. Étudier le signe de $F(x)$ pour tout $x$ de $I$.
   2. Montrer que $F$ est dérivable sur $I$ et calculer $F'(x)$ pour tout $x \in I$.
   3. Montrer que $F$ est strictement croissante sur $I$.
2. 1. En utilisant le changement de variable $u = \sqrt{e^x - 1}$, montrer que $F(x) = 2\arctan\left(\sqrt{e^x - 1}\right) - \dfrac{\pi}{2}$ pour tout $x \in I$.
   2. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} F(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} F(x)$.
3. 1. Montrer que $F$ est bijective de $I$ vers un intervalle $J$ que l'on déterminera.
   2. Déterminer la bijection réciproque de $F$.