Devoir surveillé n°5 (modèle 2) — 2 Bac Sciences Maths

Soit $z = \cos\dfrac{2\pi}{7} + i\sin\dfrac{2\pi}{7} = e^{i\frac{2\pi}{7}}$.
On pose $a = z + z^2 + z^4$ et $b = z^3 + z^5 + z^6$.

1. a) Calculer la somme $S = 1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6$.
   b) En déduire que $a + b = -1$.
2. a) Montrer que $a \times b = 2$.
   b) Montrer que $\operatorname{Im}(a) > 0$.
3. Montrer, en utilisant ce qui précède, que $a = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{7}}{2}$ et $b = \overline{a}$.
4. Déterminer la valeur exacte de $u = \sin\dfrac{\pi}{7} - \sin\dfrac{2\pi}{7} - \sin\dfrac{4\pi}{7}$.

1. Calculer les intégrales suivantes : $$A = \int_{\pi/4}^{\pi/3} \tan^3(x)\,dx \quad ; \quad B = \int_{\frac{\sqrt{6}}{2}}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{2 - x^2}}\,dx$$
2. Soit l'équation différentielle $(E) : y'' - 4y' + 13y = 0$.
   1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(E)$.
   2. Déterminer la solution $g$ de $(E)$ telle que $g(0) = 0$ et $g'(0) = 3$.
   3. En déduire que $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin(3x)\,e^{2x}\,dx = \dfrac{3}{13}\left(1 + e^{2\pi}\right)$.
   4. Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos(3x)\,e^{2x}\,dx$.

Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, on pose $u_n = \displaystyle\int_{0}^{1} x^n\,e^{1-x}\,dx$.

1. Montrer que $u_0 = e - 1$ et $u_1 = e - 2$.
2. Montrer que $\forall n \in \mathbb{N} : 0 < u_n \leq \dfrac{e}{n+1}$.
3. Prouver que $\forall n \in \mathbb{N} : u_n \notin \mathbb{N}$.
4. a) Montrer que $\forall n \in \mathbb{N} : u_{n+1} = (n+1)u_n - 1$.
   b) Montrer que $u_n = n!\left(e - \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!}\right)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
   En déduire la limite $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!}$.
5. Prouver que $n!\,e \notin \mathbb{N}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
   En déduire que $e \notin \mathbb{Q}$.

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $g(x) = \displaystyle\int_{x}^{3x} \dfrac{\cos t}{t}\,dt$.

1. Montrer que la fonction $g$ est paire.
2. a) Montrer que $\forall x > 0 : \displaystyle\int_{x}^{3x} \dfrac{\cos t}{t}\,dt = \dfrac{\sin 3x - 3\sin x}{3x} + \int_{x}^{3x} \dfrac{\sin t}{t^2}\,dt$.
   b) Montrer que $\forall x > 0 : |g(x)| \leq \dfrac{2}{x}$, puis en déduire $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x)$.
3. a) Montrer que $\forall x > 0 : 0 \leq \displaystyle\int_{x}^{3x} \dfrac{1 - \cos t}{t}\,dt \leq 2x$. (Remarquer que $\forall t > 0 : 0 \leq 1 - \cos t \leq t$.)
   b) Vérifier que $\forall x > 0 : g(x) - \ln 3 = \displaystyle\int_{x}^{3x} \dfrac{\cos t - 1}{t}\,dt$.
   En déduire $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} g(x)$.