Devoir surveillé n°6 (modèle 1) — 2 Bac Sciences Maths
Devoir corrigé de mathématiques — 2 Bac Sciences Maths.
Partie I. Soient $a$ et $b$ de $\mathbb{N}^{*}$ tels que $a\land b=1$, et soit $p$ un diviseur premier de $a^{4}+b^{4}$ tel que $p\geq 3$.
a) Montrer que $a\land p=1$.
b) En déduire qu'il existe $m\in\mathbb{Z}$ tel que $am\equiv 1\,[p]$ (utiliser Bézout).
a) Montrer qu'il existe $x\in\mathbb{Z}$ tel que $x^{4}\equiv -1\,[p]$ (on remarquera que $b^{4}\equiv -a^{4}\,[p]$).
b) Montrer que $x\land p=1$, et en déduire que $x^{p-1}\equiv 1\,[p]$.
On pose $p=2k+1$ avec $k\in\mathbb{N}^{*}$.
a) Montrer que $(-1)^{k}\equiv 1\,[p]$, puis en déduire que $p=4n+1$ avec $n\in\mathbb{N}^{*}$.
b) Montrer que $p\equiv 1\,[8]$.
Partie II. On considère dans $\mathbb{N}^{*}\times\mathbb{N}^{*}$ l'équation $(E):\ x^{4}+y^{4}=1297\times 19^{4}$.
On pose $d=x\land y$, $x=da$ et $y=db$.
- Vérifier que $1297$ est premier et montrer que $d=19$.
- Déterminer les couples $(a,b)$ de $\mathbb{N}^{*}\times\mathbb{N}^{*}$ tels que $a^{4}+b^{4}=1297$ et $a\land b=1$ (on donne $\sqrt[4]{1296}=6$).
- Déterminer les solutions de $(E)$.
Soit $p$ un nombre premier tel que $p=4k+3$ avec $k\in\mathbb{N}$, et soit $x\in\mathbb{Z}$ tel que $x^{2}+1\equiv 0\,[p]$.
a) Vérifier que $x^{4k+2}\equiv -1\,[p]$.
b) Montrer que $p\land x=1$, et en déduire que $x^{4k+2}\equiv 1\,[p]$.
c) En déduire que l'équation $x^{2}+1\equiv 0\,[p]$ n'a pas de solution dans $\mathbb{Z}$.
Soit $p$ un nombre premier tel que $p=4k+3$ ($k\in\mathbb{N}$) et $(a,b)\in\mathbb{Z}^{2}$ tel que $a^{2}+b^{2}\equiv 0\,[p]$.
a) On suppose que $p$ ne divise pas $a$ ; montrer que $b^{4k+2}+1\equiv 0\,[p]$.
b) En déduire que $a^{2}+b^{2}\equiv 0\,[p]\Leftrightarrow \big(a\equiv 0\,[p]$ et $b\equiv 0\,[p]\big)$.
Soit $(a,b)\in\mathbb{Z}^{2}$ tel que $a\land b=1$, et soit $p$ un diviseur premier de $a^{2}+b^{2}$ tel que $p\geq 3$.
Montrer que $p\equiv 1\,[4]$.
On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$\forall x\in\mathbb{R},\quad F(x)=\int_{0}^{x} e^{\,t-\frac{t^{2}}{2}}\,dt.$$
a) Déterminer le signe de $F(x)$ selon les valeurs de $x$.
b) Montrer que $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer $F'(x)$.
a) Montrer que $\displaystyle\int_{0}^{1} F(x)\,dx=\int_{0}^{1}(1-x)\,e^{\,x-\frac{x^{2}}{2}}\,dx$.
b) En déduire $\displaystyle\int_{0}^{1} F(x)\,dx$.
Soit la suite $(u_{n})_{n\geq 1}$ définie par : $$\forall n\in\mathbb{N}^{*},\quad u_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}(n-k)\int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} e^{\,t-\frac{t^{2}}{2}}\,dt.$$
a) Vérifier que $\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}^{*},\ u_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}(n-k)F\!\left(\frac{k+1}{n}\right)-\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}(n-k)F\!\left(\frac{k}{n}\right)$.
b) Montrer que $\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}^{*},\ u_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}F\!\left(\frac{k}{n}\right)$.
c) En déduire que $(u_{n})_{n\geq 1}$ est convergente et déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_{n}$.