Devoir surveillé n°6 (modèle 2) — 2 Bac Sciences Maths

I) Montrer que les solutions de l'équation $(E):143u-100v=1$ sont les couples $(100k+7\,;\,143k+10)$ où $k\in\mathbb{Z}$.

II) On considère dans $\mathbb{N}$ l'équation $(F):x^{143}\equiv 3\ [101]$.

1. Soit $x$ une solution de l'équation $(F)$.
   1. Montrer que $101$ est premier et que $x\land 101=1$.
   2. Montrer que $x^{100}\equiv 1\ [101]$ et que $x\equiv 3^{7}\ [101]$. (Remarquer que $143\times 7=1+100\times 10$.)
2. Montrer que s'il existe un entier naturel $x$ vérifiant $x\equiv 3^{7}\ [101]$, alors $x$ est une solution de $(F)$.
3. Montrer que les solutions de $(F)$ sont les nombres qui s'écrivent sous la forme $66+101k$ où $k\in\mathbb{N}$.

I) Soient $a,b$ deux éléments de $\mathbb{N}^{*}$ tels que $173$ divise $a^{3}+b^{3}$. (On admet que $173$ est premier.)

1. Montrer que $a^{171}\equiv -b^{171}\ [173]$. (Remarquer que $171=3\times 57$.)
2. Montrer que $173$ divise $a\Leftrightarrow 173$ divise $b$.
3. On suppose que $173$ divise $a$ ; montrer que $173$ divise $a+b$.
4. On suppose que $173$ ne divise pas $a$.
   1. Montrer que $a^{172}\equiv b^{172}\ [173]$ (utiliser le théorème de Fermat).
   2. En déduire que $a^{171}(a+b)\equiv 0\ [173]$.
   3. En déduire que $173$ divise $a+b$. Que peut-on déduire de (3) et (4) ?

II) On considère dans $\mathbb{N}^{*}\times\mathbb{N}^{*}$ l'équation $(E):x^{3}+y^{3}=173(xy+1)$.
Soit $(x,y)$ une solution de $(E)$.

1. Montrer que $173$ divise $x+y$ (dans la suite on pose $x+y=173k$ où $k\in\mathbb{N}^{*}$).
2. Vérifier que $k(x-y)^{2}+(k-1)xy=1$.
3. Montrer que $k=1$ et résoudre l'équation $(E)$.

On considère la fonction $F$ définie par : $$F(x)=\int_{x}^{2x}\dfrac{1}{\ln\left(1+t^{2}\right)}\,dt.$$

1. Montrer que $D_{F}=\mathbb{R}^{*}$ et que $F$ est impaire.
2. 1. Montrer que $\forall x>0,\ \exists c\in\ ]x\,;2x[\ ;\ F(x)=\dfrac{x}{\ln\left(1+c^{2}\right)}$.
   2. En déduire que $\forall x>0:\ \dfrac{x}{\ln\left(1+4x^{2}\right)}\leq F(x)\leq \dfrac{x}{\ln\left(1+x^{2}\right)}$.
3. 1. Calculer les limites $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}F(x)$, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}F(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{F(x)}{x}$.
   2. Que peut-on déduire à propos des branches infinies de $(C_{F})$ ?
4. Montrer que $$\forall x>0:\ F'(x)=\dfrac{\ln\dfrac{\left(1+x^{2}\right)^{2}}{1+4x^{2}}}{\ln\left(1+x^{2}\right)\,\ln\left(1+4x^{2}\right)},$$ puis dresser le tableau de variations de $F$.
5. Tracer $(C_{F})$ dans un repère orthonormé (on donne $F(\sqrt{2})\approx 0{,}8$).