Devoir surveillé n°7 (modèle 1) — 2 Bac Sciences Maths

Soient les matrices $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 7 & 0 & 8 \\ -4 & -1 & -4 \\ -4 & 0 & -5 \end{pmatrix}$.

1. Montrer que $A^2 = A$, puis en déduire que $A$ n'est pas inversible.
2. Montrer que $B^n = 3^n I + \left( (-1)^n - 3^n \right) A$, où $n \in \mathbb{N}^*$.
3. On pose $C(n) = 3^n I + \left( (-1)^n - 3^n \right) A$, où $n \in \mathbb{Z}$, et $G = \left\{ C(n) \,/\, n \in \mathbb{Z} \right\}$.
   Montrer que $(G ; \times)$ est un groupe commutatif.

Pour tout $z_1 = a + ib$ et $z_2 = x + iy$ de $\mathbb{C}$, on définit la loi $*$ par $$z_1 * z_2 = ax + i(bx + ay)$$ où $(a, b, x, y) \in \mathbb{R}^4$.

1. Montrer que $*$ est commutative, associative et admet un élément neutre $e$.
2. On considère l'ensemble $G = \{ z \in \mathbb{C} \,/\, \mathfrak{Re}(z) \neq 0 \}$.
   1. Montrer que $G$ est une partie stable de $(\mathbb{C}, *)$.
   2. Montrer que $(G, *)$ est un groupe commutatif.
3. On pose $H = \left\{ z = x + ix \ln|x| \,/\, x \in \mathbb{R}^* \right\}$.
   Montrer que $H$ est un sous-groupe de $(G, *)$.
4. Montrer que $\forall t \in \mathbb{R} - \{1\},\ \forall n \in \mathbb{N}^* : 1 + 2t + 3t^2 + \ldots + n t^{n-1} = \dfrac{n t^{n+1} - (n+1) t^n + 1}{(t-1)^2}$.
5. 1. Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ et $z = x + iy$.
      Déterminer $z^{(n)} = \underbrace{z * z * \ldots * z}_{n \text{ fois}}$.
   2. Calculer la somme $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} z^{(k)}$ où $n \in \mathbb{N}^*$ et $\mathfrak{Re}(z) \neq 1$.

On considère le sous-ensemble $E$ de $M_2(\mathbb{R})$ défini par : $$E = \left\{ M(x, y) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & y \end{pmatrix} \,/\, x \in \mathbb{R} \text{ et } y \in \mathbb{R}^* \right\}$$

1. 1. Montrer que $E$ est une partie stable de $(M_2(\mathbb{R}), \times)$.
   2. Montrer que la multiplication n'est pas commutative dans $E$.
   3. Vérifier que $$\forall x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R}^* : \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & y \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{x}{y} \\ 0 & \dfrac{1}{y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{x}{y} \\ 0 & \dfrac{1}{y} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
2. Montrer que $(E, \times)$ est un groupe non commutatif.
3. On considère le sous-ensemble $F$ de $E$ défini par : $$F = \left\{ M(x) = \begin{pmatrix} 1 & x-1 \\ 0 & x \end{pmatrix} \,/\, x \in \mathbb{R}^* \right\}$$
   1. Montrer que l'application $\varphi$ définie par $\forall x \in \mathbb{R}^*,\ \varphi(x) = M(x)$ est un homomorphisme de $(\mathbb{R}^*, \times)$ vers $(E, \times)$.
   2. En déduire que $(F, \times)$ est un groupe commutatif dont on déterminera l'élément neutre.