Devoir surveillé n°7 (modèle 2) — 2 Bac Sciences Maths

Soient les matrices $A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$.

1. Montrer que $A^2=3A$, et en déduire que $A$ n'est pas inversible.
2. Calculer $A^n$ puis calculer $M=I+A+A^2+\ldots+A^n$ où $n\in\mathbb{N}^{*}$.
3. Montrer que $B^2-B-2I=O$, en déduire que $B$ est inversible.

On définit sur $\mathbb{R}$ la loi de composition interne $*$ par :

$$\forall x,y\in\mathbb{R}\;:\; x*y=x+y-2023$$

1. a) Montrer que $*$ est commutative et associative.
   b) Montrer que $(\mathbb{R}\,;*)$ est un groupe commutatif.
2. On définit sur $\mathbb{R}$ la loi de composition interne $T$ par : $$\forall x,y\in\mathbb{R}\;:\; xTy=x+y-\dfrac{1}{2023}xy$$ Soit $f$ l'application définie de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ par $f(x)=2023-2023x$.
   a) Montrer que $f$ est un isomorphisme de $(\mathbb{R}\,;\times)$ vers $(\mathbb{R}\,;T)$.
   b) En déduire que $(\mathbb{R}\,;*\,;T)$ est un corps commutatif.

On considère dans $M_{2}(\mathbb{R})$ les matrices $J=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ et $I=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$.
On pose : $$E=\left\{M(a,b)=aI+bJ\;/\;(a,b)\in\mathbb{R}^{2}\right\}$$

1. Vérifier que $J^2=J$ et montrer que $E$ est une partie stable de $\left(M_{2}(\mathbb{R}),\times\right)$, et que $\times$ est commutative dans $E$.
2. Montrer que $(E,+,\times)$ est un anneau unitaire commutatif. $(E,+,\times)$ est-il un corps ?
3. Résoudre dans $E$ l'équation $X^2=X$.
4. Soit $a\in\mathbb{R}-\{0,1,-1\}$.
   On pose $A(n)=I+\left(a^{n}-1\right)J$ où $n\in\mathbb{Z}$, et $H=\{A(n)/n\in\mathbb{Z}\}$.
   a) Montrer que $H$ est une partie stable de $\left(M_{2}(\mathbb{R}),\times\right)$.
   b) Montrer que l'application $\varphi:\mathbb{Z}\rightarrow H,\;n\mapsto A(n)$ est un homomorphisme de $(\mathbb{Z},+)$ vers $(H,\times)$.
   En déduire la structure de $(H,\times)$ et déterminer $\left(A(n)\right)^{-1}$.
5. Soit $(x,y)\in\mathbb{Z}^{2}$.
   On pose $F=\left\{A(px+qy)/(p,q)\in\mathbb{Z}^{2}\right\}$.
   a) Montrer que $F$ est un sous-groupe de $(H,\times)$.
   b) Montrer que : $x\wedge y=1\Leftrightarrow F=H$.