Devoir surveillé n°8 (modèle 1) — 2 Bac Sciences Maths

Soit l'ensemble $$F = \left\{ M(a;b) = \begin{pmatrix} a + b & -2b \\ b & a - b \end{pmatrix} : (a;b) \in \mathbb{R}^2 \right\}$$

1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\, ; + \, ; \cdot)$.
2. Déterminer une base $B$ de $(F\, ; + \, ; \cdot)$ puis en déduire $\dim(F)$.
3. On pose $J = M(0;1)$, déterminer les coordonnées de $J^2$ dans $B$.
4. Montrer que $F$ est une partie stable de $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\, ; \times)$.
5. Soit l'application $f : \mathbb{C}^* \longrightarrow F^*$ ; $\quad z = a + ib \longmapsto f(z) = M(a;b)$.
   1. Montrer que $f$ est un isomorphisme de $(\mathbb{C}^*\, ; \times)$ vers $(F^*\, ; \times)$.
   2. Montrer que $(F\, ; + \, ; \times)$ est un corps commutatif.
   3. Résoudre dans $F^*$ l'équation : $J X^3 = -I$.

Une urne contient 10 boules portant les numéros : 1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4. Ces boules sont indiscernables au toucher.

On tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules de l'urne.

1. Soit l'événement $A$ : « Obtenir deux boules portant deux numéros pairs ».
   Montrer que $P(A) = \dfrac{1}{3}$.
2. On répète l'expérience précédente trois fois de suite en remettant chaque fois les deux boules tirées dans l'urne.
   Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de l'événement $A$.
   1. Montrer que $P(X = 1) = \dfrac{4}{9}$.
   2. Déterminer la loi de probabilité de la variable $X$.
   3. Calculer l'espérance mathématique $E(X)$, la variance $V(X)$ puis l'écart-type $\sigma(X)$.

On a deux boîtes $U$ et $V$. La boîte $U$ contient 4 boules rouges et 4 boules bleues. La boîte $V$ contient 2 boules rouges et 4 boules bleues.

On considère l'épreuve suivante : on tire au hasard une boule de la boîte $U$.

• Si elle est rouge, on la remet dans la boîte $V$ puis on tire au hasard une boule de la boîte $V$ ;
• si elle est bleue, on la pose de côté puis on tire une boule de la boîte $V$.

Soient les événements : $R_U$ « la boule tirée de la boîte $U$ est rouge », $B_U$ « la boule tirée de la boîte $U$ est bleue », $R_V$ « la boule tirée de la boîte $V$ est rouge », $B_V$ « la boule tirée de la boîte $V$ est bleue ».

1. Calculer la probabilité de chacun des deux événements $R_U$ et $B_U$.
2. 1. Calculer la probabilité de l'événement $B_V$ sachant que l'événement $R_U$ est réalisé.
   2. Calculer la probabilité de l'événement $B_V$ sachant que l'événement $B_U$ est réalisé.
3. Montrer que la probabilité de l'événement $B_V$ est $\dfrac{13}{21}$.
4. En déduire la probabilité de l'événement $R_V$.