Devoir surveillé n°8 (modèle 2) — 2 Bac Sciences Maths

Pour tout couple $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, on pose $$M(x,y) = \begin{pmatrix} x & -2y \\ y & x+2y \end{pmatrix}$$ et on considère l'ensemble $E = \left\{ M(x,y) \,/\, (x,y) \in \mathbb{R}^2 \right\}$.

1. Montrer que $E$ est un sous-groupe du groupe $\left( M_2(\mathbb{R}), + \right)$.
2. a) Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel $\left( M_2(\mathbb{R}), +, \cdot \right)$.
   b) On pose $J = M(0,1)$.
   Montrer que $(I, J)$ est une base de l'espace vectoriel $(E, +, \cdot)$.
3. a) Montrer que $E$ est une partie stable de $\left( M_2(\mathbb{R}), \times \right)$.
   b) Montrer que $(E, +, \times)$ est un anneau commutatif.
4. Soit $\varphi$ l'application de $\mathbb{C}^{*}$ vers $M_2(\mathbb{R})$ définie par : $$\varphi(x+iy) = M(x+y, -y) = \begin{pmatrix} x+y & 2y \\ -y & x-y \end{pmatrix} \quad \text{pour } (x,y) \in \mathbb{R}^2 - \{(0,0)\}$$
   a) Montrer que $\varphi$ est un homomorphisme de $\left( \mathbb{C}^{*}, \times \right)$ vers $\left( M_2(\mathbb{R}), \times \right)$.
   b) On pose $E^{*} = E - \{O\}$.
   Montrer que $\varphi\left( \mathbb{C}^{*} \right) = E^{*}$.
   c) En déduire que $\left( E^{*}, \times \right)$ est un groupe commutatif.
5. Montrer que $(E, +, \times)$ est un corps commutatif.

Une urne contient $9$ boules : cinq boules rouges numérotées $0;1;1;1;2$ et quatre boules vertes numérotées $0;1;1;2$, indiscernables au toucher.

On tire au hasard et simultanément $3$ boules de cette urne.

1. On considère les événements suivants :
   $A$ : « Obtenir 3 boules portant des numéros pairs »
   $B$ : « Obtenir 3 boules dont la somme des numéros est égale à 3 »
   $C$ : « Obtenir 3 boules vertes »
   a) Montrer que $P(A) = \dfrac{1}{21}$ et $P(B) = \dfrac{5}{14}$.
   b) Montrer que $P(B \cap C) = \dfrac{1}{42}$ et en déduire que $P_B(C) = \dfrac{1}{15}$.
2. Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le produit des numéros obtenus.
   a) Justifier que $X(\Omega) = \{0; 1; 2; 4\}$.
   b) Montrer que $P(X = 0) = \dfrac{7}{12}$.
   c) Calculer $P(X = 1)$, puis déterminer la loi de probabilité de $X$.

Un sac $S_1$ contient 4 boules rouges et 2 boules noires.
Un sac $S_2$ contient 2 boules rouges et une boule noire.
Toutes les boules sont indiscernables au toucher.

On choisit au hasard l'un des sacs, puis on tire une boule de ce sac.

1. Calculer la probabilité de choisir le sac $S_1$ et d'obtenir une boule rouge.
2. Calculer la probabilité d'obtenir une boule rouge.
3. Sachant que la boule tirée est noire, quelle est la probabilité qu'elle soit tirée du sac $S_1$ ?