Devoir surveillé n°3 — 3ème année collège

Soit $(\mathcal{C})$ un cercle de centre $O$, tel que :

$$\widehat{ACD} = 48^\circ \quad \text{et} \quad \widehat{CDB} = 25^\circ$$

1. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{CAB}$.
2. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{ABD}$.
3. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{AOD}$.

On considère la figure ci-dessous, où le triangle $ABD$ est rectangle en $A$, avec $AB = 2\sqrt{5}$, $BD = 6$, $BC = 2\sqrt{3}$ et $DC = 4\sqrt{3}$.

1. Calculer $AD$.
2. Montrer que le triangle $BCD$ est un triangle rectangle.
3. Calculer les rapports trigonométriques de l'angle $\widehat{ABD}$ : $\cos\widehat{ABD}$, $\sin\widehat{ABD}$ et $\tan\widehat{ABD}$.
4. $\alpha$ est la mesure d'un angle aigu, tel que $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
   Calculer $\sin\alpha$ et $\tan\alpha$.
5. Simplifier l'expression suivante : $$Y = \sin(50^\circ) \times \cos(40^\circ) + \sin(40^\circ) \times \cos(50^\circ) - 2\tan(20^\circ) \times \tan(70^\circ)$$