Devoir corrigé n°1 — 2 Bac SM

Exercice 1 — Limites, équations irrationnelles et bijection.

1. Calculer la limite suivante :

   $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x \,\sqrt[3]{1+x^2} - 1}{x^2}$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation :

   $(E):\ \sqrt[3]{1+x} - \sqrt[3]{1-x} = \sqrt[6]{1-x^2}$

3. a) Montrer que pour tous $x, y \in [0, +\infty[$ :

   $\arctan x - \arctan y = \arctan\left(\dfrac{x-y}{1+xy}\right)$

   b) Calculer :

   $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x\left(\arctan\left(\dfrac{x}{x+1}\right) - \dfrac{\pi}{4}\right)$

4. On considère la fonction $f$ définie sur $I = [0, 8]$ par $f(x) = \sqrt[3]{8-x} - \sqrt[3]{x}$.

   a) Montrer que $f$ est une bijection de $I$ vers $J = [-2, 2]$.

   b) Montrer qu'il existe un unique $c \in {]0, 8[}$ tel que $f(c) = c^3$.

   c) Calculer la limite :

   $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f^{-1}(x) - 4}{x}$

Exercice 2.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x) = \arctan\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1} + 1}\right)$

1. Montrer que la fonction $u : x \mapsto \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1} + 1}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

2. Montrer que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ vers l'intervalle $J = \left]-\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\right[$.

3. Montrer que pour tout $x \in J$, $f^{-1}(x) = \tan(2x)$.

4. En déduire une expression simplifiée de $f(x)$ pour $x \in \mathbb{R}$, puis déterminer la valeur de $\arctan(\sqrt{2} - 1)$.

Exercice 3.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \dfrac{1}{2}$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$u_{n+1} = \dfrac{1 + \sqrt{u_n}}{2}$

1. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \in {]0, 1[}$.

2. a) Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.

   b) Montrer que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 1$.

3. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = \cos^2\left(\dfrac{\pi}{2^{\,n+2}}\right)$.

4. Montrer que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\big(u_0\, u_1\, u_2 \cdots u_n\big) = \dfrac{4}{\pi^2}$.

Exercice 4.
Soit $n$ un entier naturel tel que $n \ge 3$ et $f_n$ la fonction définie sur $[0, +\infty[$ par :

$f_n(x) = x^n - n(x - 1) - 2$

1. a) Montrer que l'équation $f_n(x) = 0$ admet exactement deux solutions $a_n$ et $b_n$ telles que $0 < a_n < 1 < b_n$.

   b) Étudier le signe de $f_{n+1}(x) - f_n(x)$ suivant les valeurs de $x$.

   c) En déduire que $(a_n)$ est croissante et $(b_n)$ décroissante.

   d) Montrer alors que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont convergentes.

2. Montrer que pour tout $n \ge 3$ : $-\dfrac{2}{n} \le a_n - 1 \le -\dfrac{1}{n}$, et en déduire $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} a_n$.

3. a) On admet que pour tout $n \ge 3$, $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n < 3$.
   Montrer que $b_n > 1 + \dfrac{1}{n}$.

   b) Montrer que pour tout $x > 0$ et tout $n \ge 3$ : $(1+x)^n \ge 1 + nx + \dfrac{n(n-1)}{2}x^2$.

   c) En déduire que pour tout $n \ge 3$ : $1 + \dfrac{1}{n} < b_n < 1 + \dfrac{1}{\sqrt{n}}$, et en déduire $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} b_n$.