Devoir corrigé n°2 — 2 Bac SM

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$.
On considère la fonction $f_n : [0\,;1] \to \mathbb{R}$ définie par :

$f_n(x) = x^{n}\sin(\pi x)$

1. Montrer qu'il existe un unique $\alpha_n \in \left]0\,;1\right[$ tel que $f_n'(\alpha_n) = 0$.

2. Montrer que $f_n(\alpha_n) = -\dfrac{\pi (\alpha_n)^{n+1}}{n}\cos(\pi \alpha_n)$.

3. Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} f_n(\alpha_n)$.

Soit $f$ la fonction définie sur $I = [0\,;+\infty[$ par :

$f(x) = 3\sqrt[3]{x+1} - x$

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

2. Montrer que pour tout $x \in I$, $f'(x) = \dfrac{1 - (\sqrt[3]{x+1})^{2}}{(\sqrt[3]{x+1})^{2}}$, puis en déduire que $f$ est strictement décroissante sur $I$.

3. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\beta$ dans $\left]5\,;6\right[$.

4. a) Montrer que l'équation $f(x) = x$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\left]2\,;3\right[$.
   b) Vérifier que $\sqrt[3]{\alpha+1} = \dfrac{2}{3}\alpha$.

5. a) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer.
   b) Montrer que $f^{-1}$ est dérivable en $\alpha$ et que $(f^{-1})'(\alpha) = \dfrac{4\alpha^{2}}{9 - 4\alpha^{2}}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $I = \left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{3\pi}{2}\right[$ par :

$f(x) = \dfrac{\cos x}{1 + \sin x}$

1. a) Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^{+}} f(x) = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}^{-}} f(x) = -\infty$.
   b) Interpréter géométriquement ces résultats.

2. a) Montrer que $f$ est dérivable sur $I$ et que pour tout $x \in I$, $f'(x) = -\dfrac{1}{1 + \sin x}$.
   b) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $I$.
   c) Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ en $0$ et de la tangente $(T')$ en $\dfrac{\pi}{2}$.

3. Étudier la convexité de $(C_f)$ puis justifier que $A\left(\dfrac{\pi}{2}\,;0\right)$ est un point d'inflexion de $(C_f)$.

4. Montrer que $A\left(\dfrac{\pi}{2}\,;0\right)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$.

5. Tracer $(T)$, $(T')$ et $(C_f)$ dans un repère orthonormé.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a\,;b]$, dérivables sur $\left]a\,;b\right[$, telles que $g'(x) \neq 0$ pour tout $x \in \left]a\,;b\right[$.

1. Montrer que $g$ est injective (c'est-à-dire : $g(x) = g(y) \Rightarrow x = y$).

2. Montrer qu'il existe $c \in \left]a\,;b\right[$ tel que $\dfrac{f'(c)}{g'(c)} = \dfrac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$.