Devoir corrigé n°3 — 2 Bac SM

On considère la suite $(U_n)_{n\ge 2}$ définie pour tout $n \in \mathbb{N} \setminus \{0,1\}$ par :

$U_n = \ln\left(1 + \dfrac{2}{n-1}\right)$

1. Montrer que pour tout $x \in [0\,;\,+\infty[$ : $0 < \ln(1+x) < x$.

2. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N} \setminus \{0,1\}$ : $0 < U_n < \dfrac{2}{n-1}$, puis calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} U_n$.

Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n \ge 3$.
On considère la fonction $g_n$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par :

$g_n(x) = nx + 2\ln(x)$

1. Dresser le tableau de variations de $g_n$.

2. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$ : $\sqrt{x} > \ln(x)$.

3. Montrer que l'équation $g_n(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha_n$ sur $\mathbb{R}_+^*$ et que $\dfrac{1}{n} < \alpha_n < \dfrac{1}{\sqrt{n}}$.

4. En déduire $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \alpha_n$.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
On pose :

$u_n = 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \cdots + \dfrac{1}{n!} \quad\text{et}\quad F(x) = -e^{-x}\left(\sum_{k=0}^{n} \dfrac{x^k}{k!}\right),\ x \in [0,1]$

1. Montrer que pour tout $x \in [0,1]$ : $F'(x) = \dfrac{x^n}{n!}\,e^{-x}$.

2. a) Montrer que pour tout $x \in \,]0,1[$ : $0 < x\,e^{-x} < \dfrac{1}{e}$.
   b) En déduire que pour tout $x \in \,]0,1[$ : $0 < F'(x) < \dfrac{1}{n!}\,e^{-1}$.

3. a) À l'aide du théorème des accroissements finis, montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $0 < e - u_n < \dfrac{1}{n!}$, puis en déduire $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n$.

4. Prouver que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $n!\,e \notin \mathbb{N}$, puis en déduire que $e \notin \mathbb{Q}$.

A) Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = (1-x)e^{2-x} + 1$.
Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $g(x) \ge 0$.

B) Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x - 2 + x\,e^{2-x}$, de courbe $(C_f)$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

2. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = g(x)$, puis dresser le tableau de variations de $f$.

3. Montrer que la droite $(\Delta) : y = x - 2$ est asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$, puis étudier la position relative de $(C_f)$ et $(\Delta)$.

4. Étudier la branche infinie de $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$.

5. a) Montrer que $(C_f)$ admet un unique point d'inflexion de coordonnées $(2\,;\,2)$.
   b) Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ au point d'abscisse $2$.

6. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$, et que $0 < \alpha < 1$.

7. Tracer $(C_f)$ dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i}\,;\,\vec{j})$ (on admet que $\alpha \approx 0{,}3$).