Devoir corrigé n°4 — 2 Bac SM

Équations différentielles.

1. a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E_1):\ y'' - 2y' + 5y = 0$.

   b) Déterminer la solution $f$ de $(E_1)$ qui vérifie $f(0) = 5$ et $f'(0) = 9$.

2. On considère l'équation différentielle :

   $(E):\ y'' + 3y' + 2y = 6x^2 + 4x - 1$

   a) Déterminer une solution particulière $y_0$ de $(E)$ (on pourra poser $y_0 = ax^2 + bx + c$, avec $a$, $b$, $c$ réels).

   b) Montrer que $y - y_0$ est solution de l'équation différentielle $(E_0):\ z'' + 3z' + 2z = 0$, puis résoudre $(E)$.

Dans le plan complexe, on considère les points $A(a)$, $B(b)$, $C(c)$ tels que :

$a = \sqrt{3} + i, \quad b = \sqrt{3} - 1 + (\sqrt{3} + 1)i, \quad c = -1 + i\sqrt{3}.$

1. Déterminer la forme trigonométrique de $1 + i$ et celle de $a$.
2. Montrer que $b = (1 + i)a$, puis déterminer la forme trigonométrique de $b$.
3. En déduire la valeur de $\cos\dfrac{5\pi}{12}$.
4. Vérifier que $c = ia$, puis en déduire la nature du triangle $OAC$.
5. Montrer que le quadrilatère $OABC$ est un carré.

On pose $f(z) = \dfrac{z + i}{1 + iz}$, où $z \in \mathbb{C} \setminus \{i\}$.

1. Montrer que $f(z) \in i\mathbb{R} \iff z \in i\mathbb{R}$.
2. Montrer que $|f(z)| = 1 \iff z \in \mathbb{R}$.
3. Déterminer l'ensemble $(E)$ des points $M(z)$ tels que $f(z) \in \mathbb{R}$.
4. a) Montrer que $|f(z)| = 3 \iff \left|z - \dfrac{5}{4}i\right| = \dfrac{3}{4}$.
   b) En déduire l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M(z)$ tels que $|f(z)| = 3$.
5. a) Montrer que $\operatorname{Re}(f(z)) = \dfrac{1}{2} \iff \operatorname{Re}(z) = \dfrac{1}{4}|z - i|^2$.
   b) En déduire les valeurs de $z$ telles que $\operatorname{Re}(z) = 1$ et $\operatorname{Re}(f(z)) = \dfrac{1}{2}$.

Pour tout $z$ de $\mathbb{C}$, on pose :

$f(z) = z^2 - (5 - i\sqrt{3})z + 6 - 3i\sqrt{3}.$

1. Déterminer $a$ et $b$ de $\mathbb{C}$ tels que $f(z) = (z - a)^2 - b$.
2. Déterminer $c$ tel que $b = c^2$, puis résoudre l'équation $f(z) = 0$.
3. Montrer que lorsque $M(z)$ varie sur le cercle $\mathcal{C}(\Omega(a), r)$, le point $M'(f(z))$ varie sur un cercle $(\Gamma)$ que l'on déterminera.