Devoir corrigé n°5 — 2 Bac SM

Soit $a$ un nombre complexe différent de $1-i$.
On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation :

$(E):\; z^2 - 2(a+1-i)z + 2a^2 - 4i = 0$

1. Calculer $(a-1+i)^2$, puis résoudre l'équation $(E)$.
2. On considère les points $A(a)$, $B(a-ia+2)$, $C(a+ia-2i)$ et $\Omega(2-2i)$.
   Déterminer l'affixe de $I$, milieu de $[BC]$, puis déterminer le vecteur $\vec{u}$ de la translation $t$ qui transforme $A$ en $I$.
3. Soit la rotation $R\left(\Omega\,;\,-\dfrac{\pi}{2}\right)$.
   1. Montrer que $R(C)=B$, puis en déduire que $(BC)\perp(\Omega I)$.
   2. Donner une méthode pour construire les points $B$ et $C$ à partir de $A(a)$.
4. On pose $a = b(1+i) - 2i$ où $b\in\mathbb{R}$.
   1. Déterminer les affixes de $\vec{CB}$ et $\vec{CA}$ en fonction de $b$.
   2. En déduire que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

1. Calculer les intégrales suivantes :

   $A = \displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{1}{e^x + 2}\,dx \qquad ; \qquad B = \displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{\ln(1+x)}{x^2}\,dx$

2. On pose :

   $I = \displaystyle\int_{-1}^{1} t\,\arctan(t)\,dt \qquad \text{et} \qquad J = \displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{t\,\arctan(t)}{e^t + 1}\,dt$

   1. Calculer $I$ et montrer que $J = \displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{e^t}{e^t + 1}\,t\,\arctan(t)\,dt$ (poser $t = -x$).
   2. En déduire la valeur de $J$.

Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, on pose :

$S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{(-1)^k}{2k+1}$

1. Montrer que pour tout $u \geq 0$ :

   $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (-1)^k u^k = \dfrac{1}{1+u} - \dfrac{(-1)^{n+1} u^{n+1}}{1+u}$

2. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

   $S_n = \dfrac{\pi}{4} + (-1)^n \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{t^{2n+2}}{1+t^2}\,dt$

3. Montrer que $\left| S_n - \dfrac{\pi}{4} \right| \leq \dfrac{1}{2n+3}$ pour tout $n \geq 0$.
   En déduire $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_n$.

On considère la fonction $F$ définie sur $]0, +\infty[$ par :

$F(x) = \displaystyle\int_{\frac{1}{x}}^{x} \dfrac{\ln(t)}{t^2 + 1}\,dt$

1. 1. Calculer $F(1)$, puis montrer que $F$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et calculer $F'(x)$.
   2. En déduire que $F(x) = 0$ pour tout $x \in\, ]0, +\infty[$.
2. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que pour tout $x > 0$ :

   $F(x) = \ln(x)\left(\arctan x + \arctan \dfrac{1}{x}\right) - \displaystyle\int_{\frac{1}{x}}^{x} \dfrac{\arctan(t)}{t}\,dt$

3. Montrer que pour tout $x > 0$ : $\arctan\left(\dfrac{1}{x}\right) + \arctan(x) = \dfrac{\pi}{2}$.
4. En déduire que pour tout $x > 0$ : $\displaystyle\int_{\frac{1}{x}}^{x} \dfrac{\arctan(t)}{t}\,dt = \dfrac{\pi}{2}\ln x$.