Devoir corrigé n°6 — 2 Bac SM
Devoir corrigé de mathématiques — 2 Bac Sciences Maths.
On travaille dans $\mathbb{Z}^2$ avec l'équation $(E): 143x - 195y = 52$.
a) Déterminer $143 \wedge 195$, puis en déduire que $(E)$ admet des solutions dans $\mathbb{Z}^2$.
b) Sachant que $(-1,\,-1)$ est une solution particulière de $(E)$, résoudre $(E)$ dans $\mathbb{Z}^2$ en détaillant les étapes.
Soit $n$ un entier naturel non nul premier avec $5$.
Montrer que $\forall k \in \mathbb{N}: n^{4k} \equiv 1\ [5]$.Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels non nuls tels que $x \equiv y\ [4]$.
a) Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$, on a $n^{x} \equiv n^{y}\ [5]$.
b) En déduire que pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$, on a $n^{x} \equiv n^{y}\ [10]$.
Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels tels que $(x,y)$ soit solution de $(E)$.
Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$, les deux nombres $n^{x}$ et $n^{y}$ ont le même chiffre des unités dans l'écriture décimale.
Soit $a \in \mathbb{N} \setminus \{0,1\}$.
On pose $X = 1 + a + a^{2} + a^{3} + a^{4} + a^{5} + a^{6}$.
Soit $p$ un diviseur premier positif de $X$.
a) Montrer que $a^{7} \equiv 1\ [p]$, puis en déduire que $\forall n \in \mathbb{N}: a^{7n} \equiv 1\ [p]$.
b) Montrer que $p \wedge a = 1$, puis en déduire que $\forall m \in \mathbb{N}: a^{(p-1)m} \equiv 1\ [p]$.
On suppose que $7$ ne divise pas $p - 1$.
a) Montrer qu'il existe $(m,n) \in \mathbb{N}^2$ tel que $(p-1)m - 7n = 1$, puis en déduire que $a \equiv 1\ [p]$.
b) Montrer que $p = 7$.
Montrer que si $p$ est un diviseur premier de $X$, alors $p = 7$ ou $p \equiv 1\ [7]$.
I) Soit $f$ la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x - \ln x}$ pour $x > 0$, et $f(0) = 0$.
On pose $h(x) = x - \ln x$.
Montrer que $\forall x > 0:\ h(x) \ge 1$.Montrer que $f$ est continue sur $[0,+\infty[$ et étudier sa dérivabilité à droite en $0$.
Calculer $f'(x)$ pour $x > 0$ et dresser le tableau de variations de $f$.
II) On considère la fonction $F$ définie sur $[0,+\infty[$ par $F(x) = \displaystyle\int_{x}^{2x} f(t)\,dt$.
Montrer que $F$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ et que $F'(x) = \dfrac{\ln 2 - \ln x}{h(2x)\,h(x)}$ pour $x > 0$, et $F'(0) = 0$.
a) Vérifier que $\forall x > 0:\ \ln 2 = \displaystyle\int_{x}^{2x} \dfrac{1}{t}\,dt$.
b) Montrer que $0 \le F(x) - \ln 2 \le \dfrac{\ln(2x)}{x - \ln x}$ pour tout $x \ge 1$.
c) En déduire $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} F(x)$ et interpréter géométriquement.
Montrer que $F\!\left(\tfrac{1}{2}\right) \le \ln 2$ et démontrer qu'il existe $\alpha \in \left[\tfrac{1}{2}, 1\right]$ tel que $F(\alpha) = \ln 2$.
Dresser le tableau de variations de $F$ en justifiant.
Tracer $(C_F)$ dans un repère orthonormé, sachant que $\alpha \approx 0{,}7$ et $F(2) \approx 1{,}1$.