Devoir corrigé n°7 — 2 Bac SM

On considère dans $M_3(\mathbb{R})$ la matrice :

$A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

1. a) Calculer $A^2$ et $A^3$. La matrice $A$ admet-elle un inverse ?
   b) Montrer que $I - A$ admet un inverse, que l'on déterminera.
2. Soit $x \in \mathbb{R}$.
   On pose $M(x) = I + 2xA + 2x^2 A^2$ et $E = \{ M(x) \,/\, x \in \mathbb{R} \}$.
   a) Montrer que $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 : M(x) \times M(y) = M(x+y)$.
   b) Montrer que $(E, \times)$ est un groupe commutatif.

On définit dans $\mathbb{C}$ les lois $*$ et $\perp$ par :

$\forall (x,y) \in \mathbb{C}^2 : x \perp y = 2ixy + 4(x+y) - 6i \qquad \text{et} \qquad x * y = x + y - 2i$

On considère l'application $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C},\ z \mapsto -\dfrac{i}{2}z + 2i$.

1. Montrer que $f$ est bijective et déterminer $f^{-1}$.
2. Montrer que $f$ est un homomorphisme de $(\mathbb{C}, +)$ vers $(\mathbb{C}, *)$.
   En déduire la structure de $(\mathbb{C}, *)$ ainsi que son élément neutre $e$.
3. Montrer que $f$ est un homomorphisme de $(\mathbb{C}, \times)$ vers $(\mathbb{C}, \perp)$.
   En déduire la structure de $(\mathbb{C} \setminus \{e\}, \perp)$.
4. Montrer que $(\mathbb{C}, *, \perp)$ est un corps commutatif.
5. a) Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{C}$.
   Déterminer $x^{(n)} = x \perp x \perp \dots \perp x$ ($n$ fois).
   b) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $x^{(4)} = 8 + 2i$.

I) On définit dans $E = \mathbb{R} \setminus \left\{ -\dfrac{1}{3} \right\}$ la loi $*$ par :

$\forall (x,y) \in E^2 : x * y = x + y + 3xy$

1. a) Montrer que $*$ est une loi de composition interne.
   b) Montrer que $(E, *)$ est un groupe commutatif.
2. Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in E$.
   Montrer que $x^{(n)} = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}(1 + 3x)^n$.

II) On pose :

$G = \left\{ M(a) = \begin{pmatrix} 1+a & a & a \\ a & 1+a & a \\ a & a & 1+a \end{pmatrix},\ a \neq -\dfrac{1}{3} \right\}$

Soit l'application $f : E \to G,\ a \mapsto M(a)$.

1. Montrer que $f$ est un homomorphisme bijectif de $(E, *)$ vers $(G, \times)$.
2. En déduire la structure de $(G, \times)$ et déterminer $(M(a))^{-1}$ pour $a \neq -\dfrac{1}{3}$.
3. Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $a \in E$.
   Déterminer $(M(a))^n$.
4. On pose $H = \left\{ M(a) \,/\, a > -\dfrac{1}{3} \right\}$.
   Montrer que $H$ est un sous-groupe de $(G, \times)$.