Devoir corrigé n°8 — 2 Bac SM

Partie I. On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$.

1. Calculer $A^2$, $A^3$ et $A^6$, puis en déduire l'inverse $A^{-1}$ en fonction d'une puissance $A^n$ (avec $n\in\mathbb{N}$).
2. On pose $G=\{A^n \,/\, n\in\mathbb{N}^{*}\}$.
   Montrer que $(G,\times)$ est un groupe commutatif.
3. Montrer que $G=\{I,A,A^2,A^3,A^4,A^5\}$.

Partie II. On pose $E=\{M\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \,/\, A\times M=M\times A\}$.

1. Montrer que $(E,+,\cdot)$ est un espace vectoriel.
2. a) Montrer que pour tout $M\in E$, il existe un unique couple $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ tel que $M=aI+bA$.
   b) En déduire une base de $(E,+,\cdot)$.

Un sac contient $6$ jetons indiscernables au toucher, numérotés $1,1,1,1,0,2$.
On tire au hasard, successivement et sans remise, $3$ jetons du sac.
On considère les événements :

• $A$ : « la somme des numéros obtenus est égale à $3$ » ;
• $B$ : « le premier jeton tiré porte le numéro $2$ ».

1. a) Montrer que $P(A)=\dfrac{2}{5}$ et $P(B)=\dfrac{1}{6}$.
   b) Calculer $P_B(A)$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
2. Soit $X$ la variable aléatoire égale à la somme des numéros portés par les trois jetons tirés.
   a) Déterminer la loi de probabilité de $X$.
   b) Calculer l'espérance $E(X)$, la variance $V(X)$ et l'écart type $\sigma(X)$.

Un sac contient $2n$ boules indiscernables au toucher ($n\in\mathbb{N}^{*}$) : $n$ boules blanches et $n$ boules noires. Un jeu consiste à tirer une boule, noter sa couleur et la remettre dans le sac, puis à tirer une seconde boule et noter sa couleur. La règle est la suivante :

• si les deux boules sont blanches, on gagne $20$ points ;
• si les deux boules sont noires, on perd $20$ points ;
• si les deux boules sont de couleurs différentes, le gain est nul.

1. Calculer la probabilité de gagner $20$ points, celle de perdre $20$ points, et celle d'un gain nul.
2. On répète le jeu $5$ fois de suite.
   a) Calculer la probabilité de gagner $100$ points.
   b) Calculer la probabilité de gagner $40$ points.
3. On joue une seule fois.
   Soit $X$ la variable aléatoire valant $20$ en cas de gain, $0$ en cas de gain nul, $-20$ en cas de perte.
   a) Déterminer la loi de probabilité de $X$.
   b) Calculer l'espérance mathématique $E(X)$.