Devoir surveillé n°1 — Tronc Commun Sciences

On pose $a = 2160$ et $b = 4860$.

1. Décomposer en produit de facteurs premiers les deux nombres $a$ et $b$.
2. En déduire $\text{pgcd}(a\,;b)$ et $\text{ppcm}(a\,;b)$.
3. Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de $a^{3} \times b^{2}$.
4. Montrer que $\sqrt{a \times b}$ est un entier naturel.
5. Écrire le nombre $\dfrac{a}{b}$ sous forme de fraction irréductible.

On pose $a = 6n + 11$ et $b = 2n + 4$, avec $n \in \mathbb{N}$.

1. a) Étudier la parité des nombres $a$ et $b$.

   b) En déduire la parité du nombre $c = (6n + 11)(-1)^{b} + (2n + 3)(-1)^{a}$.

   c) Montrer que le nombre $(a + 1)^{2} + b^{2}$ est un multiple de $40$.

2. a) Vérifier que pour tout entier naturel $n$ on a : $\dfrac{n + 7}{n + 1} = 1 + \dfrac{6}{n + 1}$.

   b) Déterminer les valeurs de l'entier naturel $n$ pour lesquelles $\dfrac{n + 7}{n + 1} \in \mathbb{N}$.

3. a) Déterminer tous les diviseurs de $22$.

   b) En déduire tous les couples d'entiers naturels $(x\,;y)$ tels que $(x - 3)(y - 4) = 22$.

Soit $ABCD$ un parallélogramme du plan.

1. Construire les points $E$ et $F$ tels que $\overrightarrow{AE} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DF} = -2\overrightarrow{DA}$.
2. Montrer que $\overrightarrow{CE} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{FE} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AD}$.
3. En déduire que les points $E$, $F$ et $C$ sont alignés.

Soit $ABC$ un triangle et $E$ un point tel que $\overrightarrow{AE} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

1. Construire le point $E'$, projeté de $E$ sur la droite $(AC)$ parallèlement à $(BC)$.
2. Montrer que $\overrightarrow{AE'} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.
3. En déduire que les droites $(EE')$ et $(BC)$ sont parallèles.