Devoir surveillé n°2 — Tronc Commun Sciences

Dans un repère orthonormé $(O\,;\,\overrightarrow{i}\,;\,\overrightarrow{j})$, on considère les points $A(5\,;0)$, $B(2\,;1)$ et $C(6\,;3)$.

1. a) Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

   b) Calculer $\det(\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{AC})$ et en déduire que $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

   c) Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle et rectangle en $A$.

2. a) Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.

   b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{U}(6\,;-2)$.

   c) Montrer que les droites $(AB)$ et $(\Delta)$ sont parallèles.

3. Soient $(D)$ et $(D')$ deux droites telles que :

   $$(D):\ \left\{\begin{array}{l}x = 2 + 5t \\ y = 1 + t\end{array}\right.\ ,\ (t \in \mathbb{R})\quad\text{et}\quad (D'):\ x + 2y + 3 = 0$$

   a) Montrer que $B \in (D)$ et $A \notin (D')$.

   b) Montrer que les droites $(D)$ et $(D')$ sont sécantes en un point $I$.

   c) Déterminer les coordonnées du point $I$.

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que : $1 \leq a$, $b \leq 2$ et $a - b = 3$.

1. Montrer que $\sqrt{(a-1)^2} + \sqrt{(b-2)^2} = 4$.

2. Montrer que $1 \leq a \leq 5$ et $-2 \leq b \leq 2$.

3. Donner un encadrement de $a - b$, de $a(b-3)$ et de $\dfrac{a}{b-3}$.

4. Montrer que $|a + b - 7| + |a + b + 1| = 8$.

5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(E):\ |2x + 8| = 2$.

6. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(I):\ |2x + 8| < 2$.

Soit $x$ un réel.

1. Montrer que $\sqrt{1 + x^2} - 1 = \dfrac{x^2}{1 + \sqrt{1 + x^2}}$.

2. Montrer que $1 + \sqrt{1 + x^2} \geq 2$.

3. En déduire que $\left| \sqrt{1 + x^2} - 1 \right| \leq \dfrac{1}{2}x^2$.

4. Déterminer une valeur approchée de $\sqrt{1{,}0001}$ à $5 \times 10^{-5}$ près.

1. a) On pose $A = \sqrt{4 - \sqrt{7}} - \sqrt{4 + \sqrt{7}}$.
   Déterminer le signe de $A$.

   b) Calculer $A^2$, puis en déduire que $A = -\sqrt{2}$.

2. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a + b = 2$ et $a^2 + b^2 = 8$.
   Calculer la valeur de $a^3 + b^3$.

3. Calculer la valeur de $a^4 + b^4$ et de $a^6 + b^6$.