Devoir surveillé n°3 — Tronc Commun Sciences

Dans un repère orthonormé $(O\,;\overrightarrow{i}\,;\overrightarrow{j})$, on considère les points $A(5\,;0)$, $B(2\,;1)$ et $C(6\,;3)$.

1. a) Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

   b) Calculer $\det(\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{AC})$ et en déduire que $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

   c) Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle et rectangle en $A$.

2. a) Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.

   b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{U}(6\,;-2)$.

   c) Montrer que les droites $(AB)$ et $(\Delta)$ sont parallèles.

3. Soient $(D)$ et $(D')$ deux droites telles que $(D) : \left\{\begin{array}{l} x = 2 + 5t \\ y = 1 + t \end{array}\right.\ (t \in \mathbb{R})$ et $(D') : x + 2y + 3 = 0$.

   1. Montrer que $B \in (D)$ et $A \notin (D')$.

   2. Montrer que les droites $(D)$ et $(D')$ sont sécantes en un point $I$.

   3. Déterminer les coordonnées du point $I$.

On considère le polynôme $P(x) = 2x^4 - 9x^3 + 14x^2 - 9x + 2$.

1. Vérifier que $0$ n'est pas une racine de $P(x)$.

2. a) Montrer que $2$ est une racine de $P(x)$.

   b) En effectuant la division euclidienne de $P(x)$ par $x - 2$, déterminer un polynôme $Q(x)$ tel que $P(x) = (x - 2)\,Q(x)$.

3. a) Montrer que si $a$ est une racine de $P(x)$ alors $\dfrac{1}{a}$ est aussi une racine de $P(x)$.

   b) En déduire que $Q\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0$.

   c) Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $Q(x) = \left(x - \dfrac{1}{2}\right)(ax^2 + bx + c)$.

4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P(x) = 0$.

5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P(|x|) = 0$.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(E) : x^2 - x - 6 = 0$.

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(I) : x^2 + 3x - 5 < -x + 2$.

3. Résoudre le système par la méthode des déterminants : $(S) : \left\{\begin{array}{l} 3x - 2y = 11 \\ 6x + 3y = 15 \end{array}\right.$

4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\dfrac{1}{x^2 - x - 6} \geq 2$.