Devoir surveillé n°4 — Tronc Commun Sciences

1. Déterminer l'abscisse principale des abscisses curvilignes suivantes : $$\dfrac{-11\pi}{6}\quad;\quad\dfrac{33\pi}{13}\quad;\quad-\dfrac{19\pi}{4}$$

2. Représenter sur le cercle trigonométrique les points $A,B,C,D,E$ et $F$ d'abscisses curvilignes respectives $$\dfrac{\pi}{3}\,,\ \dfrac{-\pi}{2}\,,\ \dfrac{3\pi}{2}\,,\ \dfrac{2\pi}{3}\,,\ \dfrac{-4\pi}{3}$$

3. Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non nuls tels que $(\widehat{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})\equiv\dfrac{\pi}{7}\ [2\pi]$.
   Déterminer la mesure principale des angles orientés $(\widehat{\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}})$ et $(\widehat{\overrightarrow{u},-\overrightarrow{v}})$.

Simplifier les expressions suivantes :

$$A=2\cos(-x)+\cos(\pi-x)+5\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)-3\cos(\pi+x)$$

$$B=\sin^2\left(\dfrac{\pi}{11}\right)+\sin^2\left(\dfrac{3\pi}{11}\right)+\sin^2\left(\dfrac{17\pi}{22}\right)+\sin^2\left(\dfrac{9\pi}{22}\right)$$

$$C=\tan\left(\dfrac{\pi}{7}\right)+\tan\left(\dfrac{3\pi}{7}\right)+\tan\left(\dfrac{4\pi}{7}\right)+\tan\left(\dfrac{6\pi}{7}\right)$$

On donne $\cos\dfrac{\pi}{5}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$.

1. Calculer la valeur exacte de $\sin\dfrac{\pi}{5}$.

2. En déduire les valeurs du sinus et du cosinus des réels $\dfrac{4\pi}{5}$ et $\dfrac{9\pi}{5}$.

1. Montrer que : $(\cos x+\sin x)^2+(\cos x-\sin x)^2=2$

2. Montrer que : $\sin^4 x+\cos^4 x+2(1-\cos^2 x)\cos^2 x=1$

1. a) Résoudre dans $\ ]0,\pi[\ $ l'équation $(E):2\cos^2 x-\cos x=0$.

   b) Résoudre dans $\ ]0,\pi[\ $ l'inéquation $(I):2\cos^2 x-\cos x<0$.

2. Soit $x$ un réel.
   On pose $A(x)=\cos x\cdot\sin x$.

   a) Montrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ : $A\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=A(x)$ et $A(\pi+x)=A(x)$.

   b) Montrer que pour tout $x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$ : $A(x)=\dfrac{\tan x}{1+\tan^2 x}$.

   c) Résoudre dans l'intervalle $\ ]-\pi,\pi]\ $ l'équation $A(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.