Devoir surveillé n°5 — Tronc Commun Sciences

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\left]0;+\infty\right[$ par leurs représentations graphiques.

1. Déterminer $f(1)\,;\ f(2)\,;\ g(5)\,;\ g(1)$.

2. Dresser le tableau de variations de $f$.

3. Résoudre graphiquement les équations suivantes : $f(x)=0$ et $g(x)=f(x)$.

4. Résoudre graphiquement les inéquations suivantes : $f(x)<3$ et $f(x)\lt g(x)$.

Soit $f$ la fonction définie par : $$f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$$

1. Vérifier que l'ensemble de définition de $f$ est $D_f=\mathbb{R}$.

2. Étudier la parité de la fonction $f$.

3. Montrer que pour tous $x,y$ dans $\mathbb{R}^{+}$ on a : $$f(x)-f(y)=\dfrac{(1-xy)(x-y)}{(x^2+1)(y^2+1)}$$

4. Étudier le sens de variation de $f$ sur $\left[0;1\right]$ puis sur $\left[1;+\infty\right[$.

5. En déduire le sens de variation de $f$ sur $\left[-1;0\right]$ puis sur $\left]-\infty;-1\right]$.

6. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=-x^2+2x$$

1. Dresser le tableau de variations de $f$ en justifiant la réponse.

2. Déterminer les points d'intersection de $(C_f)$ avec les axes du repère.

3. Construire la courbe $(C_f)$ dans un repère orthonormé $\left(O\,;\overrightarrow{i}\,;\overrightarrow{j}\right)$.

4. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=-x^2+2\left|x\right|$.

   1. Étudier la parité de la fonction $g$.

   2. Construire dans le même repère la courbe $(C_g)$ d'une autre couleur, en justifiant la méthode de construction.

   3. Discuter, suivant les valeurs du paramètre $m$, le nombre de solutions de l'équation $g(x)=m$.

5. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x)=\left|f(x)\right|$.

   1. Résoudre l'inéquation $f(x)\geq 0$.

   2. Tracer la courbe $(C_h)$ dans un autre repère, en justifiant la méthode de construction.