Devoir surveillé n°6 — Tronc Commun Sciences

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=\sqrt{7}$ ; $AC=2$ et $BC=3$.

1. Calculer $\cos(\widehat{BAC})$, puis montrer que $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1$.

2. On pose $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC}$.

   1. Calculer $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AC}$.

   2. Montrer que les droites $(MB)$ et $(AC)$ sont orthogonales.

Dans la figure ci-dessous, $EFG$ est un triangle équilatéral de côté $a$ (avec $a\in\mathbb{R}_+^*$), et $EGH$ est un triangle rectangle en $E$ tel que $EH=2a$. Le point $K$ est le milieu de $[EH]$.

1. Montrer que $\left(\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EH}\right)\equiv\dfrac{5\pi}{6}\;[2\pi]$.

2. Montrer que $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{EG}=\dfrac{a^2}{2}$ et que $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{EH}=-a^2\sqrt{3}$.

3. Montrer que $GH^2=5a^2$ et que $FH^2=(5+2\sqrt{3})a^2$.

4. Calculer $\overrightarrow{GF}\cdot\overrightarrow{GH}$.

5. On pose $\left(\overrightarrow{GF},\overrightarrow{GH}\right)\equiv\theta\;[2\pi]$.
   Montrer que $\cos\theta=\dfrac{(1-2\sqrt{3})\sqrt{5}}{10}$.

6. Calculer $GK$.

Soit $ABC$ un triangle et $I$ un point du segment $[BC]$ tel que $I\neq B$ et $I\neq C$.
Soit $G$ le point tel que $\overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AI}$.

1. Faire une figure.

2. Soit l'homothétie $h$ de centre $I$ et de rapport $k$ telle que $h(A)=G$.

   1. Montrer que $k=\dfrac{1}{4}$.

   2. Déterminer l'image de la droite $(BC)$ par l'homothétie $h$.
      Justifier votre réponse.

   3. Déterminer l'image de la droite $(AC)$ par l'homothétie $h$, puis construire le point $C'$ tel que $h(C)=C'$.