Devoir surveillé n°1 (modèle 1) — Tronc Commun Sciences

1. Vérifier que $337$ est premier.

2. Décomposer les nombres $a = 240$ et $b = 2022$ en produit de facteurs premiers.

3. En déduire $\mathrm{pgcd}(a;b)$ et $\mathrm{ppcm}(a;b)$.

4. Simplifier $\sqrt{240 \times 2022}$.

Soit $n \in \mathbb{N}$.

1. a) Étudier la parité de l'entier $n^2 + 3n + 4$.

2. b) Développer et réduire l'expression $\left(n^2 + n\right)\left(n^2 + 3n + 4\right)$.

3. c) En déduire que $n^4 + 4n^3 + 7n^2 + 4n$ est un multiple de $4$.

2. a) Déterminer les entiers naturels $x$ et $y$ vérifiant $x^2 - y^2 = 51$.

3. b) Déterminer tous les couples $(a;b)$ d'entiers tels que $a^2 - b^2 = 7344$ et $a \wedge b = 12$.

Soient $ABC$ un triangle et $I$ le milieu de $[BC]$.

1. a) Construire les points $M$ et $N$ tels que $\overrightarrow{AM} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AN} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}$.

2. b) Montrer que les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.

2. Soit $J$ le milieu du segment $[MN]$.

   1. Montrer que $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = 3\overrightarrow{AI}$.

   2. En déduire que $A$, $I$ et $J$ sont alignés.

Soit $ABC$ un triangle du plan et $A'$ le milieu du segment $[BC]$.
Soit $D$ le point tel que $\overrightarrow{AD} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AA'}$.

1. Construire $E$ le projeté de $D$ sur la droite $(BC)$ parallèlement à $(AB)$.

2. Construire $F$ le projeté de $D$ sur la droite $(BC)$ parallèlement à $(AC)$.

3. Montrer que $\overrightarrow{BE} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{BA'}$ et $\overrightarrow{CF} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{CA'}$.

4. En déduire que $A'$ est le milieu du segment $[EF]$.