Devoir surveillé n°1 (modèle 2) — Tronc Commun Sciences

On pose $a = 270$ et $b = 405$.

1. Décomposer en produit de facteurs premiers les deux nombres $a$ et $b$.
2. En déduire $\operatorname{pgcd}(a\,;b)$ et $\operatorname{ppcm}(a\,;b)$.
3. Écrire le nombre $\dfrac{a}{b}$ sous forme de fraction irréductible.
4. Déterminer le plus petit entier $m$ non nul tel que $\sqrt{m\,ab}$ soit un entier naturel.

Soit $n \in \mathbb{N}$.

1. a) Étudier la parité des entiers $a = 2n + 7$ et $b = 8n + 4$.
   b) En déduire la parité de $A = 3n \times (-1)^{8n+4} + n \times (-1)^{2n+7}$.
2. On pose $X = 5^{n+2} - 5^{n}$ et $Y = 3 \times 5^{n+1} + 7 \times 5^{n}$.
   a) Montrer que $X$ est un multiple de $3$.
   b) Montrer que $11$ divise $Y$.
3. a) Déterminer tous les diviseurs de $22$.
   b) En déduire tous les entiers naturels $(x\,;y)$ tels que $(x - 3)(y - 4) = 22$.

Soit $ABCD$ un parallélogramme, et soient $M$, $E$ et $F$ des points du plan tels que :

$$\overrightarrow{CM} = \dfrac{1}{4}\,\overrightarrow{CA} \qquad \overrightarrow{CE} = \dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{CD} \qquad \overrightarrow{CF} = \dfrac{2}{3}\,\overrightarrow{CD}$$

1. Construire les points $M$, $E$ et $F$.
2. Montrer que $\overrightarrow{BM} = \dfrac{1}{4}\,\overrightarrow{CD} - \dfrac{3}{4}\,\overrightarrow{CB}$ et que $\overrightarrow{BE} = \dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CB}$.
3. En déduire que les points $M$, $E$ et $B$ sont alignés.
4. Montrer que $E$ est le milieu du segment $[CF]$.

$ABC$ est un triangle.
On définit :

• $D$ le projeté orthogonal du point $B$ sur la droite $(AC)$ ;
• $E$ le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$ ;
• $F$ le projeté orthogonal du point $D$ sur la droite $(AB)$ ;
• $H$ le projeté orthogonal du point $E$ sur la droite $(AC)$.

1. Faire une figure.
2. Montrer que $AE \times AD = AC \times AF$.
3. Montrer que $AE \times AD = AH \times AB$.
4. En déduire que $(BC) \,/\!/\, (FH)$.