Devoir maison n°2 (modèle 1) — Tronc Commun Sciences

1. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que : $a + b = 2$ et $a^2 + b^2 = 8$.

   1. Calculer la valeur de $a \times b$.

   2. En déduire la valeur de $a - b$.

   3. Calculer $a^4 + b^4$, puis $a^6 + b^6$.

2. Soit $x$ un réel strictement positif.

   1. Montrer que $\dfrac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}$.

   2. On pose $S = \dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \ldots + \dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$.
      Montrer que $S \in \mathbb{N}$.

3. Montrer que si $x \in \mathbb{Q}$ et $y \in \mathbb{Q}$, alors $x + y \in \mathbb{Q}$.

4. On pose $A = \sqrt{7 - \sqrt{33}} - \sqrt{7 + \sqrt{33}}$.
   Calculer $A^2$, puis en déduire une écriture simplifiée de $A$.

5. On considère le nombre réel $A = \sqrt{2} - \sqrt{3}$.
   Montrer que $A$ est solution de l'équation $x^4 - 10x^2 + 1 = 0$.

Soient $a$, $b$ et $c$ des nombres réels.

1. Montrer que $\dfrac{a^2 + a + 1}{a^2 + 1} \leq \dfrac{3}{2}$.

2. Montrer que $a^2 + b^2 + ab \geq 0$.

3. Montrer que si $a^3 + a = b^3 + b$, alors $a = b$.

4. Montrer que si $|a+b| \leq |1+ab|$, alors $(b^2 - 1)(a^2 - 1) \geq 0$.

Soient $a$, $b$ et $c$ des réels strictement positifs.

1. Montrer que $a + \dfrac{1}{a} \geq 2$.

2. 1. Montrer que $a + b \geq 2\sqrt{ab}$.

   2. Montrer que $(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$.

3. 1. Montrer que $\dfrac{ab}{a+b} \leq \dfrac{a+b}{4}$.

   2. Montrer que $\dfrac{ab}{a+b} + \dfrac{bc}{b+c} + \dfrac{ca}{c+a} \leq \dfrac{a+b+c}{2}$.

Soit $x$ un réel strictement positif.
On pose $A = \dfrac{\sqrt{1+x}}{x}$.

1. Montrer que $A - \dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}\,(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}$.

2. Montrer que $2\sqrt{x} < \sqrt{x+1} + \sqrt{x} < 2\sqrt{x+1}$, puis en déduire que $\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} < \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. En déduire que $\left| A - \dfrac{1}{\sqrt{x}} \right| < \dfrac{1}{2x}$.

4. Déterminer une valeur approchée du nombre $\dfrac{\sqrt{5}}{4}$ à $6{,}25 \times 10^{-2}$ près.