Devoir surveillé n°3 (modèle 1) — Tronc Commun Sciences

On considère le polynôme $P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 7x - 2$.

1. Vérifier que $0$ n'est pas une racine du polynôme $P(x)$.
2. Montrer que si $\alpha$ est une racine de $P(x)$, alors $\dfrac{1}{\alpha}$ est aussi une racine.
3. Montrer que $2$ est une racine du polynôme $P(x)$.
4. Déterminer un polynôme $Q(x)$ tel que : $P(x) = (x-2) \cdot Q(x)$.
5. Déduire une factorisation du polynôme $P(x)$ en produit de $3$ polynômes de degré $1$.
6. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P(x) = 0$.
7. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $P(x) \leq 0$.
8. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2|x|^3 - 7x^2 + 7|x| - 2 = 0$.
9. Soit $\alpha$ un réel tel que $2 < \alpha < 3$.
   Montrer que $0 < P(\alpha) < 10$.

1. a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations $(E) : x^2 - 3x + 2 = 0$ et $(E') : x^2 + 3x + 4 = 0$.

   b) En déduire l'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'inéquation $(I) : \dfrac{x^2 + 3x + 4}{x^2 - 3x + 2} > 0$.

   c) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $x - 3\sqrt{x} + 2 = 0$.

2. a) Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ l'équation $(E) : 4x + y + 3 = 0$.

   b) Déduire graphiquement l'ensemble des solutions de l'inéquation $(I) : 4x + y + 3 > 0$.

3. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système $(S) : \left\{ \begin{matrix} x + 2y = 4 \\ -x + 4y = 2 \end{matrix} \right.$
4. Résoudre graphiquement le système $(S) : \left\{ \begin{matrix} 4x + y - 5 \leq 0 \\ -x + y - 2 \leq 0 \end{matrix} \right.$

Soient $a \in \mathbb{R}^*$ et $b ; c \in \mathbb{R}$. Considérons l'équation $(E) : ax^2 + bx + c = 0$ et $S$ l'ensemble de ses solutions.

1. Montrer que si $c = 0$ alors $S \neq \varnothing$.
2. Montrer que si $ac \leq 0$ alors $S \neq \varnothing$.
3. Montrer que si $a + b + c = 0$ alors $S \neq \varnothing$.