Devoir surveillé n°3 (modèle 2) — Tronc Commun Sciences

On considère le polynôme $P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 7x - 2$.

1. Vérifier que $0$ n'est pas une racine du polynôme $P(x)$.
2. Montrer que si $\alpha$ est une racine de $P(x)$, alors $\dfrac{1}{\alpha}$ est aussi une racine.
3. Montrer que $2$ est une racine du polynôme $P(x)$.
4. Déterminer un polynôme $Q(x)$ tel que : $P(x) = (x - 2) \cdot Q(x)$.
5. Déduire une factorisation du polynôme $P(x)$ en produit de $3$ polynômes de degré $1$.
6. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P(x) = 0$.
7. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $P(x) \leq 0$.
8. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $2|x|^3 - 7x^2 + 7|x| - 2 = 0$.
9. Soit $\alpha$ un réel tel que : $2 < \alpha < 3$.
   Montrer que : $0 < P(\alpha) < 10$.

A) On considère les points : $A(3; 0)$ ; $B(0; 4)$.

1. Montrer que $4x + 3y - 12 = 0$ est une équation cartésienne de la droite $(D)$ passant par les points $A$ et $B$.
2. On considère la droite $(\Delta)$ définie par sa représentation paramétrique : $(\Delta) : \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = -1 + t \end{matrix} \right. \quad (t \in \mathbb{R})$.
   1. Déterminer les coordonnées de $\overrightarrow{u}$, vecteur directeur de la droite $(\Delta)$.
   2. Montrer que $(\Delta)$ et $(D)$ sont sécantes et déterminer leur point d'intersection.

B) Soit $m$ un réel et $(d_m)$ la droite d'équation $(m + 3)x + (2m - 1)y + m = 0$.

1. Déterminer un vecteur directeur de $(d_m)$ en fonction de $m$.
2. Déterminer l'ensemble des valeurs de $m$ telles que $(d_m)$ est parallèle à la droite $(d)$ d'équation $4x - 9y + 2 = 0$.