Devoir surveillé n°4 (modèle 1) — Tronc Commun Sciences

1) Placer les points suivants sur le cercle trigonométrique en fonction du réel qui leur est associé :

$$A(5\pi) \quad ; \quad B\left(\dfrac{-5\pi}{2}\right) \quad ; \quad C\left(\dfrac{11\pi}{3}\right) \quad ; \quad D\left(\dfrac{-11\pi}{4}\right) \quad ; \quad E\left(\dfrac{13\pi}{6}\right) \quad ; \quad F\left(\dfrac{-5\pi}{3}\right)$$

2) Simplifier les expressions suivantes :

$$A=\cos^{2}\left(\dfrac{\pi}{10}\right)+\cos^{2}\left(\dfrac{4\pi}{10}\right)+\cos^{2}\left(\dfrac{6\pi}{10}\right)+\cos^{2}\left(\dfrac{9\pi}{10}\right)$$

$$B=\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{7}\right)\left(\tan\left(\dfrac{\pi}{7}\right)+\tan\left(\dfrac{5\pi}{14}\right)\right)$$

1. Déterminer l'abscisse curviligne principale de $\dfrac{27\pi}{4}$.
2. Placer sur le cercle trigonométrique les points $M$ et $N$ tels que l'angle $\left(\overrightarrow{i}\ ;\ \overrightarrow{OM}\right)$ mesure $\dfrac{9\pi}{4}$ rad et l'angle $\left(\overrightarrow{i}\ ;\ \overrightarrow{ON}\right)$ mesure $\dfrac{8\pi}{3}$ rad.
3. Soient $\left(\widehat{Ox,Oy}\right)$ et $\left(\widehat{Oy,Oz}\right)$ deux angles orientés de mesures principales respectives $\dfrac{3\pi}{4}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$.
   Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $\left(\widehat{Ox,Oz}\right)$.

1) On donne $\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.

1. Calculer la valeur exacte de $\sin\dfrac{\pi}{12}$.
2. À l'aide du cercle trigonométrique, en déduire $\cos\dfrac{11\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{11\pi}{12}$.

2)

1. Montrer que $\cos^{6}(x)+\sin^{6}(x)+3\sin^{2}(x)\cos^{2}(x)=1$.
2. Montrer que $\dfrac{\sin^{3}(x)-\cos^{3}(x)}{\sin(x)+\cos(x)}=\dfrac{1}{1+\tan^{2}(x)}\times\dfrac{\tan^{3}(x)-1}{\tan(x)+1}$.

On pose $f(x)=2\sin^{2}(x)-\sin(x)-1$, pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.

1. Calculer $f\left(\dfrac{2023\pi}{3}\right)$.
2. Montrer que $f(\pi-x)=f(x)$, pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.
3. 1. Vérifier que $f(x)=(2\sin(x)+1)(\sin(x)-1)$, pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.
   2. Résoudre dans $I=\left[0;2\pi\right[$ l'équation $f(x)=0$.
   3. Résoudre dans $I=\left[0;2\pi\right[$ l'inéquation $f(x)>0$.