Devoir surveillé n°4 (modèle 2) — Tronc Commun Sciences

1. Trouver la mesure principale $\alpha_i$ (pour $i = 1, 2, 3, 4$) de chacun des angles $x_i$ et, sur le cercle trigonométrique, placer les points $M_i$ associés aux réels $\alpha_i$ :

   $$x_1 = \dfrac{341\pi}{12} \;;\quad x_2 = -379\pi \;;\quad x_3 = \dfrac{325\pi}{4} \;;\quad x_4 = -\dfrac{1023\pi}{6}$$

2. a) Montrer que $\cos^4(x) - \sin^4(x) = 2\cos^2(x) - 1$.

   b) Montrer que $\cos^2(x) - 5\sin(x)\cos(x) = \dfrac{1}{1 + \tan^2(x)}\,(1 - 5\tan x)$.

1. Soit $x \in \left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$ tel que $\sin(x) = \dfrac{4}{5}$ ; calculer $\cos(x)$ et $\tan(x)$.

2. Soient deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que $\left(\widehat{\vec{u}\,,\,\vec{v}}\right) = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ où $k \in \mathbb{Z}$.

   Déterminer : $\left(\widehat{-\vec{u}\,,\,\vec{v}}\right)$ ; $\left(\widehat{-\vec{u}\,,\,-\vec{v}}\right)$.

3. Dans le plan orienté, $ABC$ est un triangle équilatéral tel que $\left(\widehat{\vec{AB}\,,\,\vec{AC}}\right) \equiv \dfrac{\pi}{3}\;[2\pi]$. $ACD$ et $AEB$ sont deux triangles directs, rectangles et isocèles respectivement en $D$ et $E$.

   a) Tracer une figure.

   b) Donner, en justifiant, la mesure principale des angles orientés suivants : $\left(\widehat{\vec{BC}\,,\,\vec{BA}}\right)$ et $\left(\widehat{\vec{CB}\,,\,\vec{CD}}\right)$.

Soit $x$ un réel tel que $x \in [0\,;\,\pi]$.
On pose :

$$A(x) = \dfrac{1}{\sin^2 x + 2\cos^2 x}$$

1. Calculer $A(0)$, $A\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ et $A\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$.

   a) Vérifier que $A(\pi - x) = A(x)$.

   b) En déduire $A\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$, $A\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$ et $A(\pi)$.

2. Montrer que $A\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \dfrac{1}{1 + \sin^2 x}$.

3. On suppose que $x \neq \dfrac{\pi}{2}$.
   Montrer que $A(x) = \dfrac{1 + \tan^2 x}{2 + \tan^2 x}$.

1. a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(E) : \cos x = \dfrac{1}{2}$.

   b) Résoudre dans $[-\pi\,;\,\pi]$ l'inéquation $\cos(x) \leq \dfrac{1}{2}$.

   c) Dresser le tableau de signe de $2\cos x - 1$ sur $[-\pi\,;\,\pi]$.

   d) Résoudre dans $[-\pi\,;\,\pi]$ l'inéquation $2\cos^2(x) + \cos x - 1 \geq 0$.

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $(E_2) : \cos^4(3x) + \sin^4(3x) = 1$.